曲面积分

§1 第一型曲面积分

第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量.

由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有相同实质的性质。

1 第一型曲面积分的概念

2 第一型曲面积分的计算

第一型曲面积分的概念

类似第一型曲线积分，当质量分布在某一曲面块 S, 且密度函数 \(\rho ( x , y , z )\) 在 S 上连续时，曲面块 S 的质量为极限

\[ \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} \rho (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i}\tag{1} \]

其中 \(T = \{ S _ { 1 } , S _ { 2 } , \ldots , S _ { n } \}\) 为曲面块的分割， \(\Delta S _ { i }\) 表示小曲面块 \(S _ { i }\) 的面积， \(( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )\) 为 \(S _ { i }\) 中任意一点， \(\lVert \boldsymbol { T } \rVert\) 为分割 T 的细度，即为诸 \(S _ { i }\) 中的最大直径。

定义（第一型曲面积分）

设 S 是空间中可求面积的曲面， \(f ( x , y , z )\) 为定义在 S 上的函数。对曲面 S 作分割 T，它把 S 分成 n 个小曲面块 \(S _ { i } \left( i = 1 , 2 , \cdots , n \right)\)，以 \(\Delta S _ { i }\) 记小曲面块 \(S _ { i }\) 的面积，分割 T 的细度为 \(\| \pmb { T } \| = \max _ { 1 \leq i \leq n } \{ S _ { i } \text{ 的直径} \}\)。

在 \(S _ { i }\) 上任取一点 \(( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) ( i = 1 , 2 , \cdots , n )\) ，若存在极限

\[ \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i} = I \]

且与分割 T 及 \(( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )\) 的取法无关，则称此极限为 \(f ( x , y , z )\) 在 S 上的第一型曲面积分记作

\[ I = \iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S\tag{1} \]

于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为：

\[ m = \iint_ {S} \rho (x, y, z) \mathrm{d} S. \]

特别地，当 \(f ( x , y , z ) \equiv 1\) 时，曲面积分 \(\textstyle \int \int \mathrm { d } S\) 就是曲面块 S 的面积。第一型曲面积分的性质完全类似于第一类曲线积分，请读者自行写出

第一型曲面积分的计算

第一型曲面积分需要化为二重积分来计算。

定理 (22.1)

设有光滑曲面 \(S : z = z ( x , y ) , ( x , y ) \in D \ , \ f ( x , y , z )\) 为 S 上的连续函数，则

\[ \iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S = \iint_ {D} f (x, y, z (x, y)) \sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\tag{2} \]

(定理证明与曲线积分的定理 20.1 相仿，不再详述)

例(1)

计算

$\iint_{S} \frac{1}{z} dS$

其中S是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 被平面 $z = h (0 < h < a)$ 所截得的顶部(图22-1).

解：曲面 S 的方程为 \(z = { \sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } }\) ，定义域 D 为圆域 \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq a ^ { 2 } - h ^ { 2 }\) 由于

\[ \sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} = \frac {a}{\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}} \]

因此由公式 (2) 求得

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} \frac {\mathrm{d} S}{z} = \iint_ {D} \frac {a}{a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}} d x d y \\ \qquad = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\sqrt {a ^ {2} - h ^ {2}}} \frac {a}{a ^ {2} - r ^ {2}} r \mathrm{d} r \\ \qquad = 2 \pi a \int_ {0} ^ {\sqrt {a ^ {2} - h ^ {2}}} \frac {r}{a ^ {2} - r ^ {2}} \mathrm{d} r \\ \qquad = - \pi a \ln (a ^ {2} - r ^ {2}) \Big | _ {0} ^ {\sqrt {a ^ {2} - h ^ {2}}} \\ \qquad = 2 a \pi \ln \frac {a}{h}. \end{array} \]

例 (2) 计算 \(\begin{array} { l } { \displaystyle { \int } \int ( x y + z x + y z ) \mathsf { d } S } \end{array}\) 其中 S 为圆锥面 \(z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }\) 被圆柱面 \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 a x\) 所割下的部分 (图 22-2).

解：对于圆锥面 \(z = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } }\) ，有 \(\begin{array} { r } { z _ { x } = \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , z _ { y } = \frac { y } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , \quad \sqrt { 1 + z _ { x } ^ { 2 } + z _ { y } ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } } \end{array}\)

而 S 在 \(x y\) 平面上的投影为 \(D _ { ( x y ) } : ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq a ^ { 2 }\)

因此

\[ \begin{array}{l} \mathsf {I} = \iint_ {S} (x y + z x + y z) \mathrm{d} S \\ = \sqrt {2} \iint_ {D (x y)} \left(x y + (x + y) \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \end{array} \]

用二重积分的极坐标变换，

\[ \begin{array}{l} \mathsf {I} = \sqrt {2} \int_ {- \frac {\pi}{2}} ^ {\frac {\pi}{2}} (\sin t \cos t + \sin t + \cos t) \mathrm{d} t \int_ {0} ^ {2 a \cos t} r ^ {3} \mathrm{d} r \\ = 4 \sqrt {2} a ^ {4} \int_ {- \frac {\pi}{2}} ^ {\frac {\pi}{2}} (\sin t \cos t + \sin t + \cos t) \cos^ {4} t \mathrm{d} t \\ = 8 \sqrt {2} a ^ {4} \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \cos^ {5} t d t = \frac {64}{15} \sqrt {2} a ^ {4}. \end{array} \]

对于由参量形式表示的光滑曲面

\[ S: \left\{ \begin{array}{l} x = x (u, v), \\ y = y (u, v), \quad (u, v) \in D, \\ z = z (u, v), \end{array} \right. \]

在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S \\ = \iint_ {D} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v \end{array}\tag{3} \]

其中

\[ \begin{array}{r l} & E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2}, \\ & F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v}, \\ & G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2}. \end{array} \]

例 (3)

计算 \(I = \int _ { S } z \mathrm { d } S\) ，其中 S 为螺旋面 (图 22-3) 的一部分:

\[ S: \left\{ \begin{array}{l} x = u \cos v, \\ y = u \sin v, (u, v) \in D, \\ z = v, \end{array} \right. \]

\[ D: 0 \leq u \leq a, 0 \leq v \leq 2 \pi . \]

解：先求出

\[ \begin{array}{l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2} = \cos^ {2} v + \sin^ {2} v = 1, \\ F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v} = - u \sin v \cos v + u \sin v \cos v = 0, \\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2} = u ^ {2} \sin^ {2} v + u ^ {2} \cos^ {2} v + 1 = 1 + u ^ {2}; \\ \sqrt {E G - F ^ {2}} = \sqrt {1 + u ^ {2}} \end{array} \]

然后由公式 (3) 求得:

\[ \begin{array}{r l} & {\pmb {I} = \iint_ {D} v \sqrt {1 + u ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v = \int_ {0} ^ {2 \pi} v \mathrm{d} v \int_ {0} ^ {a} \sqrt {1 + u ^ {2}} \mathrm{d} u} \\ & {\qquad = 2 \pi^ {2} \left[ \frac {u}{2} \sqrt {1 + u ^ {2}} + \frac {1}{2} \ln (u + \sqrt {1 + u ^ {2}}) \right] _ {0} ^ {a}} \\ & {\qquad = \pi^ {2} [ a \sqrt {1 + a ^ {2}} + \ln (a + \sqrt {1 + a ^ {2}}) ].} \end{array} \]

例 (4)

计算曲面积分 \(J = \underset { S } { \iint } ( y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) \mathrm { d } S\) ，其中 S 是球面 \(x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 }\)

解（解法一）记

\[ \begin{array}{c} {S _ {1}: z = \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}, x ^ {2} + y ^ {2} \leq a ^ {2};} \\ {S _ {2}: z = - \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}, x ^ {2} + y ^ {2} \leq a ^ {2}.} \end{array} \]

根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换，可得

\[ \begin{array}{l} J = \iint_ {S _ {1}} (y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} S + \iint_ {S _ {2}} (y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} S \\ = 2 \iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \leq a ^ {2}} \frac {a (a ^ {2} - x ^ {2})}{\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \end{array} \]

\[ \begin{array}{r l} & {= 2 a \int_ {0} ^ {a} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {2 \pi} \frac {a ^ {2} - r ^ {2} \cos^ {2} \theta}{\sqrt {a ^ {2} - r ^ {2}}} r \mathrm{d} \theta} \\ & {= 2 \pi a \int_ {0} ^ {a} \frac {2 a ^ {2} - r ^ {2}}{\sqrt {a ^ {2} - r ^ {2}}} r \mathrm{d} r} \\ & {= \pi a \int_ {0} ^ {a ^ {2}} \left(\frac {a ^ {2}}{\sqrt {a ^ {2} - t}} + \sqrt {a ^ {2} - t}\right) \mathrm{d} t} \\ & {= \frac {8}{3} \pi a ^ {4}.} \end{array} \]

（解法二）

S 的参数方程为

\[ x = a \sin \varphi \cos \theta , y = a \sin \varphi \sin \theta , z = a \cos \varphi , (\varphi , \theta) \in [ 0, \pi ] \times [ 0, 2 \pi ] \]

按 (3) 式计算如下:

\[ E = a ^ {2} \cos^ {2} \varphi \cos^ {2} \theta + a ^ {2} \cos^ {2} \varphi \sin^ {2} \theta + a ^ {2} \sin^ {2} \varphi = a ^ {2}, \]

\[ F = - a ^ {2} \sin \varphi \cos \varphi \sin \theta \cos \theta + a ^ {2} \sin \varphi \cos \varphi \sin \theta \cos \theta = 0, \]

\[ G = a ^ {2} \sin^ {2} \varphi \sin^ {2} \theta + a ^ {2} \sin^ {2} \varphi \cos^ {2} \theta = a ^ {2} \sin^ {2} \varphi , \]

\[ \begin{array}{c} \sqrt {E G - F ^ {2}} = \sqrt {a ^ {4} \sin^ {2} \varphi} = a ^ {2} \sin \varphi \\ J = \iint_ {D} (a ^ {2} \sin^ {2} \varphi \sin^ {2} \theta + a ^ {2} \cos^ {2} \varphi) \cdot a ^ {2} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta \\ = a ^ {4} \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\pi} (\sin^ {2} \theta + \cos^ {2} \theta \cos^ {2} \varphi) \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \\ = 2 a ^ {4} \int_ {0} ^ {2 \pi} (\sin^ {2} \theta + \frac {1}{3} \cos^ {2} \theta) \mathrm{d} \theta = \frac {8}{3} \pi a ^ {4}. \end{array} \]

(解法三)

\[ f (x, y, z) = x ^ {2}, g (x, y, z) = y ^ {2}, (x, y, z) \in S \]

由于 S 关于平面 \(x = y\) 对称，且在对称点 \(( x , y , z )\) 与 \(( y , x , z ) \in S\) 处有 \(f ( x , y , z ) = g ( x , y , z )\) 因此

\[ \iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S = \iint_ {S} g (x, y, z) \mathrm{d} S \]

即 \(\textstyle \int _ { S } { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \mathrm { d } S = \int _ { S } { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } \mathrm { d } S\) . 类似的，有 \(\textstyle \int _ { S } { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \mathrm { d } S = \int _ { S } { \boldsymbol { z } } ^ { 2 } \mathrm { d } S\)

由此得到

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} (y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} S = \frac {2}{3} \iint_ {S} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} S \\ = \frac {2}{3} a ^ {2} \iint_ {S} \mathrm{d} S ^ {2} = \frac {2}{3} a ^ {2} \Delta S ^ {2} = \frac {8}{3} \pi a ^ {4} \end{array} \]

复习思考题

1. 设可求面积的曲面 S 的方程为 \(z = z ( x , y ) , ( x , y ) \in D\) ，质量分布的密度函数为 \(\rho ( x , y , z )\) C 试导出曲面快 S 的重心和转动惯量公式

2. 试讨论第一型曲面积分的轮换对称性

3. 给出第一型曲面积分的中值定理，并加以证明

4. 模仿定理 20.1 的证明，写出定理 22.1 的证明.

§2 第二型曲面积分

第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.

与第二型曲线积分相类似，第二型曲面积分与曲面所取的方向有关，这就需要先定义 “曲面的侧”.

1 曲面的侧

2 第二型曲面积分的概念

3 第二型曲面积分的计算

4 两类曲面积分的联系

曲面的侧

设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 (或法线), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，另一个指向就是负方向.

又设 M 为 S 上任一点，L 为 S 上任一经过点 M , 且不超出 S 边界的闭曲线。当 S 上的动点 M 从 M 出发沿 L 连续移动一周而回到 M 时，如果有如下特征：出发时 M 与 M 取相同的法线方向，而回来时仍保持原来的法线方向不变，则称该曲面 S 是 双侧的。否则，若 M 由某一点 M 出发，沿 S 上某一封闭曲线回到 M 时，其法线方向与出发时的方向相反，则称 S 是 单侧曲面.

我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面。单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯 (Möbius) 带.

它的构造方法如下：取一矩形长纸条 ABCD (如图 22- 4 ( a) ), 将其 一端扭转 $ 1 8 0 ^ { \circ }$ 后与另一端粘合在一起 (即让 A 与 C 重合，B 与 D 重合，如图 22-4 (b) 所示).

通常由 z = z (x, y) 所表示的曲面都是双侧曲面，其法线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧，另一侧称为下侧.

当 S 为封闭曲面时，法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧。习惯上把上侧作为正侧，下侧作为负侧；又把封闭曲面的外侧作为正侧，内侧作为负侧.

第二型曲面积分的概念

先考察一个计算流量的问题.

设某流体以流速

\[ \vec {\nu} = P (x, y, z) \mathrm{i} + Q (x, y, z) \mathrm{j} + R (x, y, z) \mathrm{k} \]

从曲面 S 的负侧流向正侧 (图 22-5), 其中 P, Q, R 为所讨论范围上的连续函数，求在单位时间内流过曲面 S 的总流量 E

设在 S 上任一点 \(( x , y , z )\) 处的正向单位法向量为

\[ \vec {n} = (\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma) \]

这里 \(\alpha , \beta , \gamma\) 都是 \(x , y , z\) 的函数。则单位时间内流经小曲面块 \(S _ { i }\) 的流量

\[ \begin{array}{r l} & {\Phi_ {i} \approx \vec {\nu} (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \cdot \vec {n} (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i}} \\ & {\qquad = [ P (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \cos \alpha_ {i} + Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \cos \beta_ {i} + R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \cos \gamma_ {i} ] \Delta S _ {i}} \end{array} \]

其中 \(M _ { i } ( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } ) \in S _ { i }\) 是任意取定的一点；

\(\vec { n } _ { i } = \left( \cos \alpha _ { i } , \cos \beta _ { i } , \cos \gamma _ { i } \right)\) 是点 \(M _ { i }\) 处的单位法向量；

\(\Delta S _ { i } \cos \alpha _ { i } , \Delta S _ { i } \cos \beta _ { i } , \Delta S _ { i } \cos \gamma _ { i }\) 分别是 \(S _ { i }\) 在坐标面 \(y z , z x , x y\) 上投影区域的近似面积，分别记作 \(\Delta S _ { i ( y z ) } , \Delta S _ { i ( z x ) } , \Delta S _ { i ( x y ) }\)

于是单位时间内由 \(S _ { i }\) 的负侧流向正侧的流量 \(\Phi _ { i }\) 也就近似等于

\[ P (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (y z)} + Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (z x)} + R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)}. \]

所以，单位时间内由 S 的负侧流向正侧的总流量

\[ \begin{array}{r l} & {\Phi = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Phi_ {i}} \\ & {\quad = \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} \Big [ P (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (y z)} + Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (z x)} + R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)} \Big ]} \end{array} \]

这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.

定义（第二型曲面积分）

\(P , Q , R\) 为定义在双侧曲面 S 上的函数。对 S 作分割 T, 它把 S 分为 \(S _ { 1 } , S _ { 2 } , \cdots , S _ { n }\) ，分

\[ \| T \| = \max _ {1 \leq i \leq n} \{S _ {i} \text {的直径} \} \]

\(\Delta S _ { i ( y z ) } , \Delta S _ { i ( z x ) } , \Delta S _ { i ( x y ) }\) 分别表示 \(S _ { i }\) 在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由 \(S _ { i }\) 的方向来确定：

\[ \Delta \boldsymbol {S} _ {i (x y)} \left\{ \begin{array}{l l} {{\geq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \mathrm{取上侧},}} \\ {{\leq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \mathrm{取下侧};}} \end{array} \right. \]

\[ \Delta \boldsymbol {S} _ {i (y z)} \left\{ \begin{array}{l l} {{\geq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \mathrm{取前侧},}} \\ {{\leq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \mathrm{取后侧};}} \end{array} \right. \]

\[ \Delta \boldsymbol {S} _ {i (z x)} \left\{ \begin{array}{l l} {{\geq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \text {取右侧},}} \\ {{\leq \mathbf {0},}} & {{\boldsymbol {S} _ {i} \text {取左侧};}} \end{array} \right. \]

定义 (1)

任取 \((\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \in S_i\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)），若

\[ I = \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} P (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (y z)} + \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (z x)} + \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)} \]

中的三个极限都存在，且与分割 T 和点 \(( \xi _ { i } , \eta _ { i } , \zeta _ { i } )\) 的选取无关，则称此极限 I 为向量函数

\[ \vec {F} = P (x, y, z) \mathrm{i} + Q (x, y, z) \mathrm{j} + R (x, y, z) \mathrm{k} \]

在曲面 S 所指定一侧上的第二型曲面积分，记作

\[ \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = I\tag{1} \]

或

\[ \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + \iint_ {S} Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + \iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = I \]

据此定义，某流体以速度 \(\vec { \nu } = ( P , Q , R )\) 从曲面 S 的负侧流向正侧的总流量即为

\[ Q = \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

又如，若空间中的磁场强度为

\[ \vec {E} = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)) \]

则按指定方向穿过曲面 S 的磁通量 (磁力线总数) 为

\[ H = \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

若以 \(S ^ { - }\) 表示曲面 S 的另一侧，由定义易知

\[ \iint_ {S ^ {-}} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = - \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:

1. 若 \(\begin{array} { r } { \int \int P _ { i } \mathrm { d } y \mathrm { d } z + Q _ { i } \mathrm { d } z \mathrm { d } x + R _ { i } \mathrm { d } x \mathrm { d } y ( i = 1 , 2 , \cdot \cdot \cdot , k ) } \end{array}\) 存在，则有

\[ \iint_ {S} (\sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} P _ {i}) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + (\sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} Q _ {i}) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (\sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} R _ {i}) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} \iint_ {S _ {i}} P _ {i} \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q _ {i} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R _ {i} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

其中 \(c _ { i } ( i = 1 , 2 , \cdot \cdot \cdot k )\) 是常数

1. 若曲面 S 是由两两无公共内点的曲面 \(S _ { 1 } , S _ { 2 } , \cdots , S _ { k }\) 所组成，则有

\[ \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \sum_ {i = 1} ^ {k} \iint_ {S _ {i}} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

第二型曲面积分的计算

定理 (22.2)

设 \(R ( x , y , z )\) 是定义在光滑曲面 \(S : z = z ( x , y ) , ( x , y ) \in D _ { ( x y ) }\) 上的连续函数，以 S 的上侧为正侧 (这时 S 的法线方向与 z 轴正向成锐角), 则有

\[ \iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {D _ {(x y)}} R (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\tag{2} \]

证

由第二型曲面积分的定义，

\[ \begin{array}{r l} \iint_ {S} R (x, y, z) d x d y & = \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)} \\ & = \lim _ {d \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, z (\xi_ {i}, \eta_ {i})) \Delta S _ {i (x y)}, \end{array} \]

这里 \(d = \max \{ S _ {i(xy)} \text{ 的直径} \}\)。

显然有

\[ \| T \| = \max \left\{S _ {i} \text {的直径} \right\}\rightarrow 0 \Rightarrow d \rightarrow 0 \]

由于 R 在 S 上连续，z 在 \(D _ { ( x y ) }\) 上连续 (曲面光滑), 根据复合函数的连续性，\(R ( x , y , z ( x , y ) )\) 在 \(D _ { ( x y ) }\) 上也连续。

由二重积分的定义，

\[ \iint_ {D _ {(x y)}} R (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \lim _ {d \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, z (\xi_ {i}, \eta_ {i})) \Delta S _ {i (x y)} \]

所以

\[ \iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {D _ {(x, y)}} R (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

类似地，当 \(P ( x , y , z )\) 在光滑曲面

\[ S: x = x (y, z), (y, z) \in D _ {(y z)} \]

上连续时，有

\[ \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(y z)}} P (x (y, z), y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z\tag{3} \]

这里 S 是取法线方向与 x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧。

当 \(Q ( x , y , z )\) 在光滑曲面

\[ S: y = y (z, x), (z, x) \in D _ {(z x)} \]

上连续时，有

\[ \iint_ {S} Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \iint_ {D _ {z x}} Q (x, y (z, x), z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x\tag{4} \]

这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧。

例(1)

计算 $\iint_{S} xyz \, dx \, dy$

其中 S 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在 $x \geq 0, y \geq 0$ 部分并取球面的外侧 (图 22-6)

解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为

\[ \begin{array}{l} S _ {1}: z _ {1} = \sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}} \\ S _ {2}: z _ {2} = - \sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}} \end{array} \]

它们在 \(x y\) 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分。因积分是沿 \(S _ { 1 }\) 的上侧和 \(S _ { 2 }\) 的下侧进行，故

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} x y z d x d y = \iint_ {S _ {1}} x y z d x d y + \iint_ {S _ {2}} x y z d x d y \\ = \iint_ {D _ {(x y)}} x y \sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}} d x d y - \iint_ {D _ {(x y)}} \left(- x y \sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}}\right) d x d y \\ = 2 \iint_ {D _ {(x y)}} x y \sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}} d x d y \\ = 2 \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {1} r ^ {3} \cos \theta \sin \theta \sqrt {1 - r ^ {2}} \mathrm{d} r = \frac {2}{15} \end{array} \]

例 (2)

计算

\[ \iint_ {S} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {y}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x \]

其中 S 是由曲面 \(y = x ^ { 2 } + z ^ { 2 }\) 与 \(y = 1 , y = 2\) 所围立体表面的外侧。

解 曲面 \(S = S _ { 1 } \cup S _ { 2 } \cup S _ { 3 }\) , 其中

\(S _ { 1 } = \Bigl \{ ( x , y ) \Bigl | x ^ { 2 } + z ^ { 2 } \le 1 , y = 1 \Bigr \}\) ，取左侧

其投影为 \(D _ { 1 } : x ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 1\)

\(S _ { 2 } = \Bigl \{ ( x , y ) \Bigl | x ^ { 2 } + z ^ { 2 } \le 2 , y = 2 \Bigr \}\) ，取右侧

其投影为 \(D _ { 2 } : x ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 2\)

\(S _ { 3 } = \Bigl \{ ( x , y ) \Bigl | y = x ^ { 2 } + z ^ { 2 } , 1 \le y \le 2 \Bigr \}\) ，取左侧

其投影为 \(D _ { 3 } : 1 \leq x ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 2\)

\[ \begin{array}{l} I _ {1} = \iint_ {S _ {1}} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {y}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x = - \iint_ {D _ {1}} \frac {\mathrm{e}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x \\ = - \mathrm{e} \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {1} \frac {1}{r} r \mathrm{d} r = - 2 \mathrm{e} \pi . \end{array} \]

取左侧，

\[ \begin{array}{c} I _ {2} = \iint_ {S _ {2}} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {y}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \iint_ {D _ {2}} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {2}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x \\ = \mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\sqrt {2}} \frac {1}{r} r \mathrm{d} r = 2 \sqrt {2} \mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} \pi \end{array} \]

取右侧，

\[ \begin{array}{r l} & I _ {3} = \iint_ {S _ {3}} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {y}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x = - \iint_ {D _ {3}} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x \\ & \qquad = - \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {1} ^ {\sqrt {2}} \frac {\mathrm{e} ^ {r}}{r} r \mathrm{d} r = - 2 (\mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} - \mathrm{e}) \pi \end{array} \]

取左侧，

因此

\[ \begin{array}{r l} \iint_ {S} \frac {\mathrm{e} ^ {\sqrt {y}}}{\sqrt {x ^ {2} + z ^ {2}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x & = I _ {1} + I _ {2} + I _ {3} \\ & = - 2 \mathrm{e} \pi + 2 \sqrt {2} \mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} \pi - 2 (\mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} - \mathrm{e}) \pi \\ & = 2 (\sqrt {2} - 1) \mathrm{e} ^ {\sqrt {2}} \pi . \end{array} \]

如果光滑曲面 S 由参数方程给出:

若在 D 上各点它们的函数行列式

\[ S: \left\{ \begin{array}{l} x = x (u, v), \\ y = y (u, v), \quad (u, v) \in D \\ z = z (u, v), \end{array} \right. \]

不同时为零，则分别有

\[ \frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \]

\[ \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \pm \iint_ {D} P (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)} \mathrm{d} u \mathrm{d} v\tag{5} \]

\[ \iint_ {S} Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \pm \iint_ {D} Q (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)} \mathrm{d} u \mathrm{d} v\tag{6} \]

\[ \iint_ {S} R \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \pm \iint_ {D} R (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \mathrm{d} u \mathrm{d} v\tag{7} \]

注

(5),(6),(7) 三式前的正负号分别对应 S 的两个侧，

特别当 uv 平面的正方向对应于曲面 S 所选定的正向一侧时，式前取正号，否则取负号

例 (3)

计算

\[ \iint_ {S} x ^ {3} \mathrm{d} y \mathrm{d} z\tag{0.1} \]

其中 S 为椭球面 \(\begin{array} { r } { \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1 } \end{array}\) 的上半部分，并取外侧

解 把曲面表示为参数方程:

\[ x = a \sin \varphi \cos \theta , y = b \sin \varphi \sin \theta , z = c \cos \varphi (0 \leq \varphi \leq \frac {\pi}{2}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) \]

由 (5) 式有

\[ \iint_ {S} x ^ {3} \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \pm \iint_ {D _ {(\varphi \theta)}} a ^ {3} \sin^ {3} \varphi \cos^ {3} \theta \cdot A \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta\tag{8} \]

其中

\[ A = \frac {\partial (y , z)}{\partial (\varphi , \theta)} = \left| \begin{array}{c c} b \cos \varphi \sin \theta & b \sin \varphi \cos \theta \\ - c \sin \varphi & 0 \end{array} \right| = b c \sin^ {2} \varphi \cos \theta \]

积分是在 S 的正侧进行。由上述的注，(8) 式右端取正号，即

\[ \begin{array}{r l} & {\iint_ {S} x ^ {3} \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(\varphi \theta)}} a ^ {3} \sin^ {3} \varphi \cos^ {3} \theta \cdot b c \sin^ {2} \varphi \cos \theta \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta} \\ & {\qquad = a ^ {3} b c \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \sin^ {5} \varphi \mathrm{d} \varphi \int_ {0} ^ {2 \pi} \cos^ {4} \theta \mathrm{d} \theta} \\ & {\qquad = \frac {2}{5} \pi a ^ {3} b c} \end{array} \]

两类曲面积分的联系

与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系。

设 S 为光滑曲面，并以上侧为正侧，R 为 S 上的连续函数，曲面积分在 S 的正侧进行。因而有

\[ \iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)}\tag{9} \]

由曲面面积公式（第二十一章 §6）

\[ \Delta S _ {i} = \iint_ {S _ {i (x y)}} \frac {1}{\cos \gamma} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

其中 \(\gamma\) 是曲面 \(S _ { i }\) 的法线方向与 z 轴正向的交角，它是定义在 \(S _ { i } ( x y )\) 上的函数。因为积分沿曲面正侧进行，所以 γ 是锐角。又由 S 是光滑的，所以 cosγ 在闭域 \(S _ { i ( x y ) }\) 上连续.

应用中值定理，在 \(S _ { i ( x y ) }\) 内必存在一点，使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角 \(\gamma _ { \mathrm { i } }\) 满足等式

\[ \Delta S _ {i} = \frac {1}{\cos \gamma_ {i} ^ {*}} \Delta S _ {i (x y)} \]

或

\[ \Delta \mathbf {S} _ {i (x y)} = \cos \gamma_ {i} ^ {*} \cdot \Delta \mathbf {S} _ {i} \]

于是

\[ R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta S _ {i (x y)} = R (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \cos \gamma_ {i} ^ {*} \Delta S _ {i}\tag{10} \]

现以 \(\cos \gamma _ { i }\) 表示曲面 \(S _ { i }\) 在点 \(( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } )\) 的法线方向与 z 轴正向夹角的余弦，则由 \(\cos \gamma\) 的连续性，可推得当 \(\lVert \boldsymbol { T } \rVert \to 0\) 时，(10) 式右端极限存在。因此由 (9) 式得到

\[ \iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {S} R (x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S\tag{11} \]

注意：当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角 γ 改为 \(\gamma \pm \pi\) , 因而 \(\cos \gamma\) 也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号。

同理可证：

\[ \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {S} P (x, y, z) \cos \alpha \mathrm{d} S\tag{12} \]

\[ \iint_ {S} Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \iint_ {S} Q (x, y, z) \cos \beta \mathrm{d} S\tag{13} \]

其中 \(\alpha , \beta\) 分别是 S 上的法线方向与 x 轴正向和与 y 轴正向的夹角。

一般地，有

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {S} [ P (x, y, z) \cos \alpha + Q (x, y, z) \cos \beta + R (x, y, z) \cos \gamma ] \mathrm{d} S \end{array}\tag{14} \]

这样，在确定了余弦函数 cos α, cos β, cos γ 之后，由 (11),(12),(13),(14) 式便建立了两种不同类型曲面积分的联系。

注 当曲面由 \(z = z ( x , y ) , ( x , y ) \in D _ { ( x y ) }\) 表示，且取上侧时， \(\mathrm { d } S = \sqrt { 1 + z _ { x } ^ { 2 } + z _ { y } ^ { 2 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y\)

\[ \cos \alpha = \frac {- z _ {x}}{\sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}}}, \quad \cos \beta = \frac {- z _ {y}}{\sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}}}, \quad \cos \gamma = \frac {1}{\sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}}} \]

因此

\[ \begin{array}{c} \iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {D _ {(x y)}} [ P (x, y, z) (- z _ {x}) + Q (x, y, z) (- z _ {y}) + R (x, y, z) ] \mathrm{d} x \mathrm{d} y \end{array} \]

上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影，从而使计算得到简化。

例 (4)

计算

\[ \iint_ {S} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (y ^ {2} + x z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

其中 S 为 \(z = 5 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } , z \geq 1\) 的部分，并取上侧

解

\[ D _ {(x y)}: x ^ {2} + y ^ {2} \leq 4; - z _ {x} = 2 x, - z _ {y} = 2 y \]

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (y ^ {2} + x z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {D _ {(x y)}} \left[ y (x - (5 - x ^ {2} - y ^ {2})) (2 x) + x ^ {2} (2 y) + y ^ {2} + x z \right] \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {D _ {(x y)}} y ^ {2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {2} r ^ {3} \sin^ {2} \theta \mathrm{d} r = 4 \pi \end{array} \]

上面第二步计算后得到 \(\begin{array} { r } { \iint \ y ^ { 2 } \mathbf { d } x \mathbf { d } y } \end{array}\) , 是利用了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，\(D _ { ( x y ) }\) 除了这一项外，其他各积分项全都等于零。

高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广

格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系；

高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系；

斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.

§3 高斯公式与斯托克斯公式

高斯公式

定理（22.3）

设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成。若函数 P,Q,R 在 V 上连续，且有一阶连续偏导数，则

\[ \begin{array}{r l} & {\iiint_ {V} \left(\frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z} \\ & {\qquad = \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R d x \mathrm{d} y,} \end{array}\tag{1} \]

其中 S 取外侧.

证 下面只证 \(\textstyle \int \int _ { V } { \frac { \partial R } { \partial z } }\) dx dy \(\mathrm { d } z = \textstyle \int \int _ { S } R \mathrm { d } x \ \mathrm { d } y\) . 读者可类似证明其余两式:

\[ \begin{array}{r} \iiint_ {V} \frac {\partial P}{\partial x} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z, \\ \iiint_ {V} \frac {\partial Q}{\partial y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {S} Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x. \end{array} \]

这些结果相加便得到高斯公式 (1).

先设 V 是一个 xy 型区域，即其边界曲面 S 由曲面

\[ S _ {1}: z = z _ {1} (x, y), (x, y) \in D _ {(x y)}, \]

\[ S _ {2}: z = z _ {2} (x, y), (x, y) \in D _ {(x y)}, \]

及垂直于 \(D _ { ( x y ) }\) 的柱面 \(S _ { 3 }\) 组成 (图 22-7), 其中

\[ z _ {1} (x, y) \leq z _ {2} (x, y). \]

于是按三重积分的计算方法，有

\[ \iiint_ {V} \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial z} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(x y)}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_ {z _ {1} (x, y)} ^ {z _ {2} (x, y)} \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial z} \mathrm{d} z \]

\[ \begin{array}{l} = \iint_ {D _ {(x y)}} (R (x, y, (z _ {2} (x, y)) - R (x, y, z _ {1} (x, y))) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {D _ {(x y)}} R (x, y, (z _ {2} (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \qquad - \iint_ {D _ {(x y)}} R (x, y, (z _ {1} (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {S _ {2}} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {S _ {1}} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {S _ {2}} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y + \iint_ {S _ {1} ^ {-}} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \end{array} \]

其中 \(S _ { 1 } , S _ { 2 }\) 都取上侧。又由于 \(S _ { 3 }\) 在 \(x y\) 平面上投影面积为零，所以 \(\begin{array} { r } { \iint _ { S _ { 3 } } R ( x , y , z ) \mathrm { d } x \ \mathrm { d } y = 0 } \end{array}\)

从而得到

\[ \begin{array}{c} \iiint_ {V} \frac {\partial R}{\partial z} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {S _ {2}} R \mathrm{d} x \mathrm{d} y + \iint_ {S _ {1} ^ {-}} R \mathrm{d} x \mathrm{d} y + \iint_ {S _ {3}} R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {S} R \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \end{array} \]

对于不是 xy 型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论.

例 (1)

利用 Gauss 公式，计算

\[ I = \iint_ {S} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (y ^ {2} + z x) \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \]

其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.

解 应用高斯公式，

\[ \begin{array}{l} I = \iiint_ {V} \left[ \frac {\partial}{\partial x} (y (x - z)) + \frac {\partial}{\partial y} \left(x ^ {2}\right) + \frac {\partial}{\partial z} \left(y ^ {2} + x z\right) \right] \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \\ = \iiint_ {V} (y + x) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {0} ^ {a} \mathrm{d} z \int_ {0} ^ {a} \mathrm{d} y \int_ {0} ^ {a} (y + x) \mathrm{d} x \\ = a \int_ {0} ^ {a} \left(a y + \frac {1}{2} a ^ {2}\right) \mathrm{d} y = a ^ {4}. \end{array} \]

注 若在高斯公式中 \(P = x , Q = y , R = z ,\) 则有

\[ \iint_ {S} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z + y \mathrm{d} z \mathrm{d} x + z \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iiint_ {V} (1 + 1 + 1) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z. \]

于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体积的公式:

\[ \Delta V = \frac {1}{3} \iint_ {S _ {1}} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z + y \mathrm{d} z \mathrm{d} x + z \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \]

例 (2)

计算

\[ \iint_ {S} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (y ^ {2} + x z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \]

其中 S 为曲面 \(z = 5 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \pm z \ge 1\) 的部分，并取上侧.

解 由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式。为了能使用高斯公式以方便计算，可补一块平面 \(S _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 , z = 1\) , 并取下侧，则 \(S \cup S _ { 1 }\) 构成一封闭曲面。于是

\[ \iint_ {S \cup S _ {1}} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + \left(y ^ {2} + x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

而

\[ \begin{array}{l} {= \iiint_ {V} (x + y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z} \\ {= \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {2} \mathrm{d} r \int_ {1} ^ {5 - r ^ {2}} (r \cos \theta + r \sin \theta) r \mathrm{d} z = 0.} \end{array} \]

因此

\[ \begin{array}{c} \iint_ {S _ {1}} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} x \mathrm{d} z + \left(y ^ {2} + x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = - \iint_ {D} \left(y ^ {2} + x\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = - 4 \pi . \end{array} \]

\[ \iint_ {S} y (x - z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + \left(y ^ {2} + x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 4 \pi . \]

例 (3)

证明电学中的高斯定理:

\(\pmb q\) \(\scriptstyle { \vec { E } }\) 向外穿过任何包含 \(q\) 在其内部的光滑封闭曲\(S\) 的电通量都等于 \(4 \pi q .\)

证 以 \(q\) 为球心作一半径充分小的球面 \(S _ { 1 }\) , 使 \(S _ { 1 }\) 全部落在 \(\pmb { S }\) 所包含的区域内部，并将坐标原点取在 \(\pmb q\) 处。由电学知识，在点 \(M ( x , y , z )\) 处的电场强度为

\[ \vec {E} = \frac {q}{r ^ {3}} (x \mathbf {i} + y \mathbf {j} + z \mathbf {k}) \]

设 \(\begin{array} { r } { P ( x , y , z ) = \frac { q x } { r ^ { 3 } } , Q ( x , y , z ) = \frac { q y } { r ^ { 3 } } , R ( x , y , z ) = \frac { q z } { r ^ { 3 } } } \end{array}\) , 其中 \(r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } }\) . 易验证 (参见图 22-8)

\[ \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z} = 0 \]

所以穿过 \(S _ { 1 }\) 的电通量为

\[ \begin{array}{c} \frac {q}{a ^ {3}} \iint_ {S _ {1}} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z + y \mathrm{d} z \mathrm{d} x + z \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = 3 \cdot \frac {q}{a ^ {3}} \iiint_ {V} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = 4 \pi q, \end{array} \]

其中 \(S _ { 1 }\) 取外侧，\(V\) 是 \(S _ { 1 }\) 包围的半径为 \(a\) 的球体.

在 S 与 \(S _ { 1 }\) 所围的空间区域 Ω 上应用高斯公式，其边界的外测是 S 的外侧和 S 的内侧。因为

\[ \begin{array}{c} \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {S _ {1}} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iiint_ {\Omega} \left(\frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = 0, \end{array} \]

所以穿过 S 的电通量为

\[ \begin{array}{l} \iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {S _ {1}} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 4 \pi q. \end{array} \]

斯托克斯公式

先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定:

设有人站在 S 上指定的一侧，若沿 L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线 L 的正向；

若沿 L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线 L 的负向.

这个规定也称为右手法则.

定理（22.4）

设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连续曲线。若函数 \(P , Q , R\) 在 S (连同 L) 上连续，且有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式如下:

\[ \begin{array}{r l} & {\iint_ {S} \left(\frac {\partial \pmb {R}}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial z}\right) d y d z + \left(\frac {\partial \mathcal {P}}{\partial z} - \frac {\partial \pmb {R}}{\partial x}\right) d z d x + \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial \pmb {P}}{\partial y}\right) d x d y} \\ & {\qquad = \int_ {L} P d x + Q d y + R d z} \end{array}\tag{2} \]

其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定.

证 先证

\[ \iint_ {S} \frac {\partial P}{\partial z} \mathrm{d} z \mathrm{d} x - \frac {\partial P}{\partial y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {L} P \mathrm{d} x\tag{3} \]

其中曲面 S 由方程 \(z = z ( x , y )\) 确定，它的正侧法线方向数为 \(( - z _ { x } , - z _ { y } , 1 )\) , 方向余弦为\(( \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma )\) , 所以

\[ \frac {\partial z}{\partial x} = - \frac {\cos \alpha}{\cos \gamma}, \quad \frac {\partial z}{\partial y} = - \frac {\cos \beta}{\cos \gamma}. \]

若 S 在 xy 平面上的投影为区域 \(D _ { ( x y ) } , L\) 在 xy 平面上的投影为曲线 Γ. 现由第二型曲线积分定义及格林公式有

因为

所以

\[ \begin{array}{c} \int_ {L} P (x, y, z) \mathrm{d} x = \int_ {\Gamma} P (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \\ = - \iint_ {D _ {(x)}} \frac {\partial}{\partial y} P (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial y} P (x, y, z (x, y)) = \frac {\partial P}{\partial y} + \frac {\partial P}{\partial z} \cdot \frac {\partial z}{\partial y} \\ - \iint_ {D _ {(x)})} \frac {\partial}{\partial y} P (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = - \iiint_ {S} \left(\frac {\partial P}{\partial y} + \frac {\partial P}{\partial z} \cdot \frac {\partial z}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \end{array} \]

由于 \(\begin{array} { r } { \frac { \partial z } { \partial y } = - \frac { \cos \beta } { \cos \gamma } , } \end{array}\) , 从而

\[ \begin{array}{r l} & {- \iint_ {S} \left(\frac {\partial P}{\partial y} + \frac {\partial P}{\partial z} \cdot \frac {\partial z}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = - \iint_ {S} \left(\frac {\partial P}{\partial y} - \frac {\partial P}{\partial z} \cdot \frac {\cos \beta}{\cos \gamma}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y} \\ & {\qquad = - \iint_ {S} \left(\frac {\partial P}{\partial y} \cos \gamma - \frac {\partial P}{\partial z} \cos \beta\right) \frac {\mathbf {d} x \mathrm{d} y}{\cos \gamma}} \\ & {\qquad = - \iint_ {S} \left(\frac {\partial P}{\partial y} \cos \gamma - \frac {\partial P}{\partial z} \cos \beta\right) \mathrm{d} S} \\ & {\qquad = \iint_ {S} \frac {\partial P}{\partial z} d z d x - \frac {\partial P}{\partial y} d x d y} \end{array} \]

综合上述结果，便得到所要证明的 (3) 式。当曲面 S 表示为 \(x = x ( y , z ) , y = y ( z , x )\) 时，同样可证

\[ \iint_ {S} \frac {\partial Q}{\partial x} \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \frac {\partial Q}{\partial z} \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {L} Q \mathrm{d} y\tag{4} \]

\[ \iint_ {S} \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial y} \mathrm{d} y \mathrm{d} z - \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial x} \mathrm{d} z \mathrm{d} x = \int_ {L} R \mathrm{d} z\tag{5} \]

将 (3), (4), (5) 三式相加，即得公式 (2).

如果 S 不能以 \(z = z ( x , y )\) 的形式给出，则可用一些光滑曲线把 S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时 (2) 式也能成立.

为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式:

\[ \iint_ {S} \left| \begin{array}{c c c} \mathrm{d} y \mathrm{d} z & \mathrm{d} z \mathrm{d} x & \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} \right| = \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z. \]

例 (4)

计算 \(\begin{array} { r } { \int _ { L } ( 2 y + z ) \mathrm { d } x + ( x - z ) \mathrm { d } y + ( y - z ) \mathrm { d } z } \end{array}\) , 其中 L 为平面 \(x + y + z = 1\) 与各坐标面的交线，取图 22-10 所示的方向.

解：应用斯托克斯公式推得：

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} (2 y + z) d x + (x - z) d y + (y - x) d z \\ = \iint_ {S} (1 + 1) d y d z + (1 + 1) d z d x + (1 - 2) d x d y \\ = \iint_ {S} 2 d y d z + 2 d z d x - d x d y = 1 + 1 - \frac {1}{2} = \frac {3}{2} \end{array} \]

区域 V 称为单连通的，如果 V 内任一封闭曲线皆可不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点。例如：两同心球面所界定的区域仍是单连通的；而形如车胎状的环形区域则是非单连通的.

注 上述之单连通，又称为 “按曲面单连通” 其意义是：对于 V 内任一封闭曲线 L, 均能以 L 为边界，围起一个位于 V 中的曲面.

与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理.

定理（22.5）

\(\Omega \subset \mathrm { R ^ { 3 } }\) 为空间单连通区域。若函数 P, Q, R 在 Ω 上连续，且有一阶连续偏导数，则以下

(i) 对于 Ω 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有

\[ \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z = 0; \]

(ii) 对于 Ω 内任一按段光滑的封闭曲线 L, 曲线积分

\[ \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z \]

与路线无关；

(iii) \(P { \mathrm { ~ d } } x + Q { \mathrm { ~ d } } y + R { \mathrm { ~ d } } z\) 是 Ω 内某一函数 u 的全微分，即

\[ \mathrm{d} u = P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z \]

(iv) \(\begin{array} { r } { \frac { \partial P } { \partial y } = \frac { \partial Q } { \partial x } , \frac { \partial Q } { \partial z } = \frac { \partial R } { \partial y } , \frac { \partial R } { \partial x } = \frac { \partial P } { \partial z } } \end{array}\) 在 Ω 内处处成立.

这个定理的证明与定理 21.12 相仿，这里不重复了.

例 (5)

验证曲线积分

\[ \int_ {L} (y + z) d x + (z + x) d y + (x + y) d z \]

与路线无关，并求被积表达式的原函数 \(u ( x , y , z )\) .

解 对于

\[ P = y + z, Q = z + x, \]

\[ R = x + y, \]

显然有

\[ \frac {\partial \boldsymbol {P}}{\partial \boldsymbol {y}} = \frac {\partial \boldsymbol {Q}}{\partial \boldsymbol {x}} = \frac {\partial \boldsymbol {Q}}{\partial z} = \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial \boldsymbol {y}} = \frac {\partial \boldsymbol {R}}{\partial \boldsymbol {x}} = \frac {\partial \boldsymbol {P}}{\partial z} = 1, \]

所以曲线积分与路线无关。现在求原函数:

\[ u (x, y, z) = \int_ {M _ {0} M} (y + z) \mathrm{d} x + (z + x) \mathrm{d} y + (x + y) \mathrm{d} z. \]

取 \(M _ { 0 } M\) 如图 22-11, 从 \(M _ { 0 }\) 沿平行于 x 轴的直线到

\(M _ { 1 } \left( x , y _ { 0 } , z _ { 0 } \right)\) , 再沿平行于 y 轴的直线到 \(M _ { 2 } \left( x , y , z _ { 0 } \right)\) , 最后沿平行于 z 轴的直线到 \(M ( x , y , z )\) 于是

\[ \begin{array}{r l} & u (x, y, z) = \int_ {x _ {0}} ^ {x} (y _ {0} + z _ {0}) \mathrm{d} s + \int_ {y _ {0}} ^ {y} (z _ {0} + x) \mathrm{d} t + \int_ {z _ {0}} ^ {z} (x + y) \mathrm{d} r \\ & \qquad = (y _ {0} + z _ {0}) (x - x _ {0}) + (z _ {0} + x) (y - y _ {0}) + (x + y) (z - z _ {0}) = x y + x z + y z + c, \end{array} \]

其中 \(c = - \left( x _ { 0 } y _ { 0 } + x _ { 0 } z _ { 0 } + y _ { 0 } z _ { 0 } \right)\) 是一个常数.

若取 \(M _ { 0 }\) 为原点，则得 \(c = 0\)

若取 \(M _ { 0 }\) 为任意点，则 c 为一任意常数.

作业：P. 282，第 1、3、4 题。