曲线积分

§1 第一型曲线积分

本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.

典型物理背景：非均匀分布的曲线状物体的质量

定义 (第一型曲线积分)

设物体的密度函数 \(f(P)\) 是定义在 \(\Omega\) 上的连续函数.

当 \(\Omega\) 是直线段时，定积分就能计算得该物体的质量.

现在研究：当 \(\Omega\) 是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，物体质量的计算.

方法与定积分分类似.

(1) 分割：把 \(\Omega\) 分成 n 个可求长度的小曲线段 \(\Omega_{i} (i=1,2,\cdots,n)\)

(2) 近似求和:

在每一个 \(\Omega_{i}\) 上任取一点 \(P_{i}\) . 由于 \(f(P)\) 为 \(\Omega\) 上的连续函数，故当 \(\Omega_{i}\) 的弧长都很小时，每一小段 \(\Omega_{i}\) 的质量可近似地等于 \(f(P_{i})\Delta \Omega_{i}\) , 其中 \(\Delta \Omega_{i}\) 为小曲线段 \(\Omega_{i}\) 的长度。于是在整个 \(\Omega\) 上的质量就近似地等于

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} f (P _ {i}) \triangle \Omega_ {i} \]

(3) 求极限

当对 \(\Omega\) 的分割越来越细密 (即 \(d = \max_{1 \leq i \leq n} \Delta \Omega_i \quad \rightarrow 0\)) 时，上述和式的极限就是该物体的质量.

求物质曲线段的质量，与求直线段的质量一样，也是通过 “分割、近似求和、取极限” 来得到的.

定义（第一型曲线积分）

设 L 为平面上可求长度的曲线段， \(f(x,y)\) 为定义在 L 上的函数。对曲线 L 做分割 T，它把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 \(L_{i} (i=1,2,\cdots,n)\) ， \(L_{i}\) 的弧长记为 \(\Delta s_{i}\) ，分割 T 的细度为 \(\|T\|=\max_{1\leq i\leq n}\Delta s_{i}\) ，在 \(L_{i}\) 上任取一点 \((\xi_{i},\eta_{i})(i=1,2,\cdots,n)\) 。若有极限

\[ \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta s _ {i} = J \]

且 \(J\) 的值与分割 \(\pmb{T}\) 与点 \((\xi_i,\eta_i)\) 的取法无关，则称此极限为 \(f(x,y)\) 在 \(\pmb{L}\) 上的第一型曲线积分，记作

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s. \]

若 \(L\) 为空间可求长曲线段，\(f(x,y,z)\) 为定义在 \(L\) 上的函数，则可类似地定义 \(f(x,y,z)\) 在空间曲线 \(L\) 上的第一型曲线积分，并且记作

\[ \int_ {L} f (x, y, z) \mathrm{d} s \]

性质

1. 若 \(\int_{L}f_{i}(x,y)\mathrm{d}s\ (i=1,2,\cdots,k)\) 存在， \(c_{i}\ (i=1,2,\cdots,k)\) 为常数，则 \(\int_{L}\sum_{i=1}^{k}c_{i}f_{i}(x,y)\mathrm{d}s\) 也存在，且

\[ \int_ {L} \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} f _ {i} (x, y) \mathrm{d} s = \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} \int_ {L} f _ {i} (x, y) \mathrm{d} s. \]

1. 若曲线段 L 由曲线 \(L_{1}, L_{2}, \cdots, L_{k}\) 首尾相接而成， \(\int_{L_{i}} f(x, y) \, \mathrm{d}s (i = 1, 2, \cdots, k)\) 都存在，则 \(\int_{L} f(x, y) \, \mathrm{d}s\) 也存在，且 \(\int_{L} f(x, y) \, \mathrm{d}s = \sum_{i=1}^{k} \int_{L_{i}} f(x, y) \, \mathrm{d}s.\)

性质

1. 若 \(\int_{L} f(x, y) \mathrm{d}s\) 与 \(\int_{L} g(x, y) \mathrm{d}s\) 都存在，且在 \(L\) 上 \(f(x, y) \leq g(x, y)\) , 则

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s \leq \int_ {L} g (x, y) \mathrm{d} s. \]

1. 若 \(\int_{L} f(x, y) \mathrm{d}s\) 存在，则 \(\int_{L} |f(x, y)| \mathrm{d}s\) 也存在，且

\[ \left| \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s \right| \leq \int_ {L} | f (x, y) | \mathrm{d} s. \]

性质

1. 若 \(\int_{L} f(x, y) \mathrm{d}s\) 存在，\(L\) 的弧长为 \(s\) , 则存在常数 \(c\) , 使得

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = c s, \]

这里 \(\inf_L f(x,y) \leq c \leq \sup_L f(x,y)\) .

性质

1. 第一型曲线积分的几何意义：若 \(L\) 为坐标平面 \(Oxy\) 上的分段光滑曲线，\(f(x,y)\) 为 \(L\) 上定义的连续非负函数.

由第一型曲线的定义，易见以 \(L\) 为准线，母线平行于 \(z\) 轴的柱面上截取 \(0 \leq z \leq f(x, y)\) 的部分的面积就是 \(\int_{L} f(x, y) ds\) .

第一型曲线积分的计算

定理 (20.1)

设有光滑曲线 \(L: \left\{ \begin{array}{ll} x = \varphi(t), & t \in [\alpha, \beta], \\ y = \psi(t), \end{array} \right.\) 为定义在 \(L\) 上的连续函数，则

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = \int_ {\alpha} ^ {\beta} f (\varphi (t), \psi (t)) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t)} \mathrm{d} t. \tag {3} \]

证 由弧长公式知道，L 上由 \(t = t_{i-1}\) 到 \(t = t_{i}\) 的弧长

\[ \Delta s _ {i} = \int_ {t _ {i - 1}} ^ {t _ {i}} \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t)} \mathrm{d} t. \]

由 \(\sqrt{\varphi^{\prime2}(t)+\psi^{\prime2}(t)}\) 的连续性与积分中值定理，有

\[ \Delta s _ {i} = \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime})} \Delta t _ {i} \quad (t _ {i - 1} < \tau_ {i} ^ {\prime} < t _ {i}). \]

所以

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta s _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\varphi (\tau_ {i} ^ {\prime \prime}), \psi (\tau_ {i} ^ {\prime \prime})) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime})} \Delta t _ {i}, \]

这里 \(t_{i - 1}\leq \tau_i^\prime ,\tau_i^{\prime \prime}\leq t_i.\)

设

\[ \sigma = \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\varphi (\tau_ {i} ^ {\prime \prime}), \psi (\tau_ {i} ^ {\prime \prime})\right) \left[ \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime})} - \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime \prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime \prime})} \right] \Delta t _ {i}, \]

则有

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta s _ {i} \]

\[ = \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\varphi \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right), \psi \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right)\right) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right) + \psi^ {\prime 2} \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right)} \Delta t _ {i} + \sigma . \tag {4} \]

令 \(\Delta t = \max\left\{\Delta t_{1}, \Delta t_{2}, \cdots, \Delta t_{n}\right\}\) ，则当 \(\|T\| \to 0\) 时，必有 \(\Delta t \to 0\) .

下面证明 \(\lim_{\Delta t\to0}\sigma=0.\)

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = \int_ {a} ^ {\beta} f (\varphi (t), \psi (t)) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t)} \mathrm{d} t. \]

因为复合函数 \(f(\varphi(t), \psi(t))\) 关于 \(t\) 连续，所以在闭区间 \([a, \beta]\) 上有界，即存在常数 \(M\) , 使对一切 \(t \in [\alpha, \beta]\) 都有 \(|f(\varphi(t), \psi(t))| \leq M\) .

再由 \(\sqrt{\varphi^{r2}(t)+\psi^{r2}(t)}\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上连续，所以它在 \([\alpha,\beta]\) 上一致连续，即对任给的 \(\varepsilon>0\) , 必存在 \(\delta>0\) , 使当 \(\Delta t<\delta\) 时，

\[ \left| \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime \prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime \prime})} - \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime}) + \psi^ {\prime 2} (\tau_ {i} ^ {\prime})} \right| < \varepsilon , \]

从而

\[ | \sigma | \leq \varepsilon M \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta t _ {i} = \varepsilon M (b - a) \]

所以 \(\lim_{\Delta t\to 0}\sigma = 0\) ，再由定积分定义

\[ \begin{array}{l} \lim _ {\Delta t \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\varphi \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right), \psi \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right)\right) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right) + \psi^ {\prime 2} \left(\tau_ {i} ^ {\prime \prime}\right)} \Delta t _ {i} \\ = \int_ {a} ^ {b} f (\varphi (t), \psi (t)) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t)} \mathrm{d} t. \\ \end{array} \]

因此当在 (4) 式两边取极限后，即得所要证的 (3) 式.

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = \int_ {\alpha} ^ {\beta} f (\varphi (t), \psi (t)) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t)} \mathrm{d} t \tag {3} \]

当曲线 L 由方程 \(y = \psi(x), x \in [a, b]\) 表示，且 \(\psi(x)\) 在 \([a, b]\) 上有连续的导函数时，(3) 为

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = \int_ {a} ^ {b} f (x, \psi (x)) \sqrt {1 + \psi^ {\prime 2} (x)} \mathrm{d} x; \]

当曲线 L 由方程 \(x = \varphi(y), y \in [c, d]\) 表示，且 \(\varphi(y)\) 在 \([c, d]\) 上有连续导函数时，(3) 式成为

\[ \int_ {L} f (x, y) \mathrm{d} s = \int_ {c} ^ {d} f (\varphi (y), y) \sqrt {1 + \varphi^ {\prime 2} (y)} \mathrm{d} y \]

例 (1)

设 \(L = \left\{ \begin{array}{ll}x = a\cos \theta \\ y = a\sin \theta \end{array} \right.\) \(0\leq \theta \leq \pi\) 是半圆周。试计算第一型曲线积分 \(\int_L(x^2 +y^2)\mathrm{d}s.\)

解

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) \mathrm{d} s = \int_ {0} ^ {\pi} a ^ {2} \sqrt {a ^ {2} (\cos^ {2} t + \sin^ {2} t)} \mathrm{d} t \\ = a ^ {3} \pi . \\ \end{array} \]

例 (2)

设 L 是 \(y^{2}=4x\) 从 \(O(0,0)\) 到 \(A(1,2)\) 一段 (图 20-2)，试计算第一型曲线积分 \(\int_{L}y\,ds\) .

解

\[ \int_ {L} y \mathrm{d} s = \int_ {0} ^ {2} y \sqrt {1 + (\frac {d x}{d y}) ^ {2}} \mathrm{d} y \]

\[ = 2 \cdot \frac {2}{3} \left(1 + \frac {y ^ {2}}{4}\right) ^ {\frac {3}{2}} \bigg | _ {0} ^ {2} \]

\[ = \frac {4}{3} (2 \sqrt {2} - 1) \]

仿照定理 20.1, 对于空间曲线积分 (2), 当曲线 L 由参量方程 \(x = \varphi(t)\) , \(y = \psi(t)\) , \(z = \chi(t)\) , \(t \in [\alpha, \beta]\) 表示时，其计算公式为:

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} f (x, y, z) \mathrm{d} s \\ = \int_ {\alpha} ^ {\beta} f (\varphi (t), \psi (t), \chi (t)) \sqrt {\varphi^ {\prime 2} (t) + \psi^ {\prime 2} (t) + \chi^ {\prime 2} (t)} d t. \tag {7} \\ \end{array} \]

例 (3)

计算 \(\int_{L}x^{2}\mathrm{d}s,\) 其中 \(L\) 为球面 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\) 被平面 \(x + y + z = 0\) 所截得的圆周

解 由对称性知

\[ \int_ {L} x ^ {2} \mathrm{d} s = \int_ {L} y ^ {2} \mathrm{d} s = \int_ {L} z ^ {2} \mathrm{d} s, \]

所以

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} x ^ {2} \mathrm{d} s = \frac {1}{3} \int_ {L} \left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}\right) \mathrm{d} s \\ = \frac {a ^ {2}}{3} \int_ {L} \mathrm{d} s = \frac {2}{3} \pi a ^ {3}. \\ \end{array} \]

例 \(^{*}\) 4

计算 \(\int_{L}\left(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} + x + y\right)\mathrm{d}s,\) 其中 \(L\) 为内摆线

\[ x ^ {\frac {4}{3}} + y ^ {\frac {4}{3}} = a ^ {\frac {4}{3}}. \]

解 由对称性，\(\int_{L} x \, ds = \int_{L} y \, ds = 0,\)

\[ \int_ {L} x ^ {\frac {4}{3}} \mathrm{d} s = \int_ {L} y ^ {\frac {4}{3}} \mathrm{d} s = 4 \int_ {L _ {1}} x ^ {\frac {4}{3}} \mathrm{d} s, \]

其中 \(L_{1}=\{(x,y)\in L,x,y\geq0\}\) . 而内摆线的参数方程为

\[ x = a \cos^ {3} t, y = a \sin^ {3} t, t \in \left[ 0, \frac {\pi}{2} \right]. \]

因此

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} \left(x ^ {\frac {4}{3}} + y ^ {\frac {4}{3}} + x + y\right) d s = 8 \int_ {L} x ^ {\frac {4}{3}} d s \\ = 8 \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} a ^ {\frac {4}{3}} \cos^ {4} t \cdot 3 a \sin t \cos t d t \\ = 4 a ^ {\frac {7}{3}}. \\ \end{array} \]

\[ x = a \cos^ {3} t, y = a \sin^ {3} t, t \in \left[ 0, \frac {\pi}{2} \right]. \]

例 (*5)

求圆柱面 \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\) 被圆柱面 \(x^{2} + z^{2} = a^{2}\) 所包围部分的面积 \(A\) .

解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分，它的面积为 \(A_{0} = \frac{A}{8}\) .

把 \(Oxy\) 平面上的 \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\) 位于第一象限的四分之一圆周记为 \(\pmb{L}\) , 则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线 \(\pmb{L}\) 为准线母线平行于 \(z\) 轴的 \(0 \leq z \leq \sqrt{a^2 - x^2}\) 的那部分柱面.

由第一型曲面积分的几何意义可知，它的面积为

\[ A _ {0} = \int_ {L} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} \mathrm{ds}. \]

\(L\) 的参数方程为: \(x = a \cos t, y = a \sin t, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\) .

\[ A _ {0} = \int_ {L} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} \mathrm{ds} = \int_ {0} ^ {\pi / 2} a \sqrt {1 - \cos^ {2} t} a \mathrm{dt} \]

\[ = a ^ {2} \int_ {0} ^ {\pi / 2} \sin t \mathrm{d} t = a ^ {2}. \]

因此， \(A = 8A_{0} = 8a^{2}\)

注 由第一型曲线积分的定义，线密度为 \(\rho(x,y)\) 的曲线状物体对于 x, y 轴的转动惯量分别为

\[ I _ {x} = \int_ {L} y ^ {2} \rho (x, y) \mathrm{d} s \text {和} I _ {y} = \int_ {L} x ^ {2} \rho (x, y) \mathrm{d} s \]

例 (6)

求线密度为 \(\rho (x,y) = \frac{y}{\sqrt{1 + x^2}}\) 的曲线段

\[ L: y = \ln x, 1 \leq x \leq 2 \]

对于 y 轴的转动惯量.

解

\[ \begin{array}{l} I _ {y} = \int_ {L} \frac {x ^ {2} y}{\sqrt {1 + x ^ {2}}} \mathrm{d} s = \int_ {1} ^ {2} \frac {x ^ {2} \ln x}{\sqrt {1 + x ^ {2}}} \sqrt {1 + \frac {1}{x ^ {2}}} \mathrm{d} x \\ = \int_ {1} ^ {2} x \ln x \mathrm{d} x = \ln 4 - \frac {3}{4}. \\ \end{array} \]

往年试题

3、（8 分）计算第一型曲线积分

\[ \int_ {L} (x ^ {2} + y ^ {2}) d s, \]

其中 \(L\) 为曲线

\[ x = a (\cos t + t \sin t), y = a (\sin t - t \cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi . \]

\[ \frac {d x}{d t} = a t \cos t ^ {\prime} \quad \frac {d y}{d t} = a t \sin t ^ {\prime} 2 ^ {\prime} \]

\[ d s = \sqrt {(\frac {d x}{d t}) ^ {2} + (\frac {d y}{d t}) ^ {2}} d t = a + d t 2 ^ {\prime} \]

\[ \int_ {L} (x ^ {2} + y ^ {2}) d s = \int_ {0} ^ {2 \pi} [ a ^ {2} (\cot t + t \sin t) ^ {2} + a ^ {2} (\sin t - t \cot t) ^ {2} ] a t d t. \]

\[ = \int_ {0} ^ {2 \pi} a ^ {3} (1 + t ^ {2}) t d t \]

\[ = 2 \pi^ {2} a ^ {3} (1 + 2 \pi^ {2}) 2 ^ {\prime} \]

作业

P. 206

1 单

2

3

§2 第二型曲线积分

第二型曲线积分与第一型曲线积分不同：在有方向的曲线上定义的积分

物理背景：求变力沿曲线作的功，而这类问题显然与曲线的方向有关.

第二型曲线积分的定义

例如：一质点受力 \(F(x, y)\) 的作用，沿平面曲线 \(L\) 从点 \(A\) 移动到点 \(B\) , 求力 \(F(x, y)\) 所作的功.

解 在曲线 AB 内插入 n-1 个分点 \(M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1}\) ，它们与 \(A = M_{0}, B = M_{n}\) 一起把有向曲线 AB 分成 n 个有向小曲线段 \(M_{i-1}M_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)\) 。若记小曲线段 \(M_{i-1}M_{i}\) 的弧长为 \(\triangle s_{i}\) ，则分割 T 的细度为

\[ \| T \| = \max _ {1 \leq i \leq n} \Delta s _ {i}. \]

设力 \(F(x,y)\) 在 x 轴和 y 轴方向的投影分别为 \(P(x,y)\) 与 \(Q(x,y)\) ，那么

\[ F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)). \]

又设小曲线段 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) 与 \(\Delta y_i = y_i - y_{i-1}\) ，其中 \((x_i, y_i)\) 与 \((x_{i-1}, y_{i-1})\) 分别为点 \(M_i\) 与 \(M_{i-1}\) 的坐标.

记 \(L_{M_{i - 1}M_i} = (\Delta x_i,\Delta y_i)\) ，于是力 \(F(x,y)\) 在小曲线段 \(\widehat{M_{i - 1}M_i}\) 上所作的功

\[ W _ {i} \approx F (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \cdot L _ {M _ {i - 1} M _ {i}} = P (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta \pmb {x} _ {i} + Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta y _ {i}, \]

其中 \((\xi_{i},\eta_{i})\) 为小曲线段 \(\widehat{M_{i-1}M_{i}}\) 上任一点.

因而力 \(F(x,y)\) 沿曲线 AB 所作的功近似地等于

\[ W = \sum_ {i = 1} ^ {n} W _ {i} \approx \sum_ {i = 1} ^ {n} P (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta x _ {i} + \sum_ {i = 1} ^ {n} Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta y _ {i}. \]

当细度 \(\|T\|\to0\) 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功.

这种类型的和式极限就是第二型曲线积分.

定义（第二型曲线积分）

设函数 \(P(x,y)\) 与 \(Q(x,y)\) 定义在平面有向可求长度曲线 \(L:AB\) 上。对 \(L\) 的任一分割 \(T\) 它把 \(L\) 分成 \(n\) 个小曲线段

\[ \widehat {M _ {i - 1} M _ {i}} \quad (i = 1, 2, \dots , n), \]

其中 \(M_0 = A, M_n = B\) . 记个小曲线段 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 的弧长为 \(\Delta s_i\) , 分割 \(T\) 的细度 \(\| T \| = \max_{1 \leq i \leq n} \Delta s_i\) . 又设 \(T\) 的分点 \(M_i\) 的坐标为 \((x_i, y_i)\) , 并记

\[ \Delta x _ {i} = x _ {i} - x _ {i - 1}, \quad \Delta y _ {i} = y _ {i} - y _ {i - 1}, \quad (i = 1, 2, \dots , n). \]

在每个小曲线段 \(\widehat{M_{i - 1}M_i}\) 上任取一点 \((\xi_i,\eta_i)\) ，若极限

\[ \lim _ {\| | T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} P (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta x _ {i} + \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} Q (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta y _ {i} \]

存在且与分割 \(T\) 与点 \((\xi_i, \eta_i)\) 的取法无关，则称此极限为函数 \(P(x, y), Q(x, y)\) 沿有向曲线 \(L\) 上的第二型曲线积分，记为

\[ \int_ {L} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y \]

或

\[ \int_ {A B} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y. \tag {1} \]

上述积分（1）也可写作或

\[ \int_ {L} P (x, y) \mathrm{d} x + \int_ {L} Q (x, y) \mathrm{d} y \]

\[ \int_ {A B} P (x, y) \mathrm{d} x + \int_ {A B} Q (x, y) \mathrm{d} y \]

为书写简洁起见，(1) 式常简写成

\[ \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \text {或} \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

若 L 为封闭的有向曲线，则记为

\[ \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \tag {2} \]

若记 \(F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\) , \(\mathrm{d}s=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)\) ，则 (1) 式可写成向量形式

\[ \int_ {L} F \cdot \mathrm{d} s \text {或} \int_ {A B} F \cdot \mathrm{d} s. \tag {3} \]

于是，力 \(F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\) 沿有向曲线 L:AB 对质点所作的功为

\[ W = \int_ {L} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y. \]

若 \(L\) 为空间有向可求长曲线，\(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)\) 为定义在 \(L\) 上的函数，则可按上述办法，类似地定义沿空间有向曲线 \(L\) 上的第二型曲线积分，并记为

\[ \int_ {L} P (x, y, z) \mathrm{d} x + Q (x, y, z) \mathrm{d} y + R (x, y, z) \mathrm{d} z, \tag {4} \]

或简写成

\[ \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z. \]

当把

\[ F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y), R (x, y)) \text {与} \]

\[ \mathrm{d} s = (\mathrm{d} x, \mathrm{d} y, \mathrm{d} z) \]

看作三维向量时，(4) 式也可表示成 (3) 式的向量形式.

第二型曲线积分与曲线 \(L\) 的方向有关．对同一曲线，当方向由 \(A\) 到 \(B\) 改为由 \(B\) 到 \(A\) 时，每一小曲线段的方向改变，从而所得的 \(\Delta x_{i},\Delta y_{i}\) 也随之改变符号，故有

\[ \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = - \int_ {B A} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \tag {5} \]

当把

\[ F (x, y) = \left(P (x, y), Q (x, y), R (x, y)\right) \text {与} \]

\[ \mathrm{d} s = (\mathrm{d} x, \mathrm{d} y, \mathrm{d} z) \]

看作三维向量时，(4) 式也可表示成 (3) 式的向量形式.

第二型曲线积分与曲线 \(L\) 的方向有关．对同一曲线，当方向由 \(A\) 到 \(B\) 改为由 \(B\) 到 \(A\) 时，每一小曲线段的方向改变，从而所得的 \(\Delta x_{i},\Delta y_{i}\) 也随之改变符号，故有

\[ \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = - \int_ {B A} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \tag {5} \]

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 \(f(x, y)\) 与弧长的乘积，它与曲线 \(L\) 的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

类似与第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些主要性质:

1. 若 \(\int_{L} P_{i} \, dx + Q_{i} \, dy \, (i = 1, 2, \cdots, k)\) 存在，则 \(\int_{L} \left( \sum_{i=1}^{k} c_{i} P_{i} \right) \, dx + \left( \sum_{i=1}^{k} c_{i} Q_{i} \right) \, dy\) 也存在，且

\[ \int_ {L} \left(\sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} \pmb {P} _ {i}\right) \mathrm{d} x + \left(\sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} \pmb {Q} _ {i}\right) \mathrm{d} y = \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i} \left(\int_ {L} \pmb {P} _ {i} \mathrm{d} x + \pmb {Q} _ {i} \mathrm{d} y\right) \]

1. 若有向曲线 L 由有向曲线 \(L_{1}, L_{2}, \cdots, L_{k}\) 首尾衔接而成， \(\int_{L_{i}} P \, dx + Q \, dy, (i = 1, \cdots, k)\) 都存在，则 \(\int_{L} P \, dx + Q \, dy\) 也存在，且 \(\int_{L} P \, dx + Q \, dy = \sum_{i=1}^{k} \int_{L_{i}} P \, dx + Q \, dy.\)

第二型曲线积分的计算

设平面曲线 \(L: \left\{ \begin{array}{l} x = \varphi(t), \\ y = \psi(t), \end{array} \right.\) \(t \in [\alpha, \beta]\) ，其中 \(\varphi(t), \psi(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上具有一阶连续导函数，且点 \(A\) 与 \(B\) 的坐标分别为 \((\varphi(\alpha), \psi(\alpha))\) 与 \((\varphi(\beta), \psi(\beta))\)

又设 \(P(x,y)\) 与 \(Q(x,y)\) 为 \(L\) 上的连续函数，则沿 \(L\) 从 \(A\) 到 \(B\) 的第二型曲线积分

\[ \int_ {L} \boldsymbol {P} (x, y) \mathrm{d} x + \boldsymbol {Q} (x, y) \mathrm{d} y = \int_ {a} ^ {\beta} [ P (\varphi (t), \psi (t)) \cdot \varphi^ {\prime} (t) + Q (\varphi (t), \psi (t)) \cdot \psi^ {\prime} (t) ] \mathrm{d} t. \tag {6} \]

证：读者可仿照 § 1 中定理 20.1 的方法分别证明

\[ \int_ {L} \boldsymbol {P} (x, y) \mathrm{d} x = \int_ {\alpha} ^ {\beta} \boldsymbol {P} (\varphi (t), \psi (t)) \varphi^ {\prime} (t) \mathrm{d} t, \]

\[ \int_ {L} \boldsymbol {Q} (x, y) \mathrm{d} x = \int_ {\alpha} ^ {\beta} Q (\varphi (t), \psi (t)) \psi^ {\prime} (t) \mathrm{d} t, \]

由此便可得公式 (6).

沿封闭曲线 \(L\) 的第二型曲线积分：可在 \(L\) 上任意选取一点，沿 \(L\) 所指定的方向前进，最后回到这一点.

例 (1)

计算

\[ \int_ {L} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y \]

其中 L 分别沿图 20-5 中的路线:

解 (i) 直线 \(L\) 的参数方程为

\[ \left\{ \begin{array}{l l} x = 1 + t, \\ y = 1 + 2 t, \end{array} \right. t \in [ 0, 1 ] \]

故由公式 (6) 可得

\[ \begin{array}{l} \int_ {\overline {{A B}}} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y \\ = \int_ {0} ^ {1} [ (1 + t) (1 + 2 t) + 2 t ] \mathrm{d} t \\ = \int_ {0} ^ {1} (1 + 5 t + 2 t ^ {2}) \mathrm{d} t = \frac {2 5}{6}. \\ \end{array} \]

(ii) 曲线 \(\widehat{ACB}\) 为抛物线 \(y = 2(x - 1)^2 + 1, 1 \leq x \leq 2\) , 所以

\[ \int_ {A C B} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y \]

\[ = \int_ {1} ^ {2} \left\{x [ 2 (x - 1) ^ {2} + 1 ] + [ 2 (x - 1) ^ {2} + 1 - x ] 4 (x - 1) \right\} d x \]

\[ = \int_ {1} ^ {2} (1 0 x ^ {3} - 3 2 x ^ {2} + 3 5 x - 1 2) \mathrm{d} x = \frac {1 0}{3}. \]

(iii) 这里 \(L\) 是一条封闭曲线，故可从 \(A\) 开始，应用上段的性质 2, 分别求沿 \(\overline{AD}, \overline{DB}, \overline{BA}\) 上的线积分然后相加，即可得到所求之曲线积分.

由于沿直线 \(\overline{AD}: x = x, y = 1 (1 \leq x \leq 2)\) 的线积分为

\[ \int_ {\overline {{A D}}} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y = \int_ {\overline {{A D}}} x y \mathrm{d} x = \int_ {1} ^ {2} x \mathrm{d} x = \frac {3}{2} \]

沿直线 \(\overline{DB}: x = 2, y = y (1 \leq y \leq 3)\) 的线积分为

\[ \int_ {\overline {{D B}}} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y = \int_ {\overline {{D B}}} (y - x) \mathrm{d} y = \int_ {1} ^ {3} (y - 2) \mathrm{d} y = 0. \]

沿直线 \(\overline{BA}\) 的线积分可由 (i) 及公式 (5) 得到:

\[ \int_ {\overline {{B A}}} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y = - \int_ {\overline {{A B}}} x y \mathrm{d} x + (y - x) \mathrm{d} y = - \frac {2 5}{6}. \]

所以 \(\oint_{L} xy \, \mathrm{d}x + (y - x) \, \mathrm{d}y = \frac{3}{2} + 0 + \left(-\frac{25}{6}\right) = -\frac{8}{3}\) .

例 (2)

计算 \(\int_{L} x \, \mathrm{d}y + y \, \mathrm{d}x\) , 这里 \(L\) 为:

解 (i)

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x \\ \mathrm{(i)} = \int_ {0} ^ {1} [ x (4 x) + 2 x ^ {2} ] \mathrm{d} x \\ = \int_ {0} ^ {1} 6 x ^ {2} \mathrm{d} x = \frac {6}{3} = 2. \\ \end{array} \]

(ii) \(\int_{L} x \, dy + y \, dx = \int_{0}^{1}(2x + 2x)dx = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.\)

(iii) 在 \(OA\) 一段上，\(y = 0, 0 \leq x \leq 1\) ;

在 AB 一段上，\(x = 1, 0 \leq y \leq 2;\)

在 BO 一段上，与 (ii) 一样是 y = 2x 从 x = 1 到 x = 0 的一段.

所以

\[ \int_ {\overline {{{O A}}}} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = \int_ {0} ^ {1} 0 \mathrm{d} x = 0, \]

\[ \int_ {\overline {{{A B}}}} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = \int_ {0} ^ {2} 1 \mathrm{d} y = 2, \]

\[ \int_ {\overline {{{B O}}}} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = - \int_ {\overline {{{O B}}}} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = - 2. (\text {见 (ii)}) \]

因此

\[ \begin{array}{l} \oint_ {L} x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = \left(\int_ {\overline {{O A}}} + \int_ {\overline {{A B}}} + \int_ {\overline {{B O}}}\right) x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x \\ = 0 + 2 - 2 = 0 \\ \end{array} \]

沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与 (6) 式相仿.

设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为

\[ L: \left\{ \begin{array}{l l} x = x (t), \\ y = y (t), \alpha \leq t \leq \beta , \\ z = z (t), \end{array} \right. \]

起点为 \((x(\alpha), y(\alpha), z(\alpha))\) ，终点为 \((x(\beta), y(\beta), z(\beta))\) ，则

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z \\ = \int_ {\alpha} ^ {\beta} [ P (x (t), y (t), z (t)) x ^ {\prime} (t) + Q (x (t), y (t), z (t)) y ^ {\prime} (t) + R (x (t), y (t), z (t)) z ^ {\prime} (t) ] d t. \tag {7} \\ \end{array} \]

这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.

例 (3)

计算第二型曲线积分 \(I=\int_{L}xy\,\mathrm{d}x+(x-y)\mathrm{d}y+x^{2}\,\mathrm{d}z,\)

L 是螺旋线: \(x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt\) 从 t = 0 到 \(t = \pi\) 上的一段.

解 由公式 (7),

\[ \begin{array}{l} I = \int_ {0} ^ {\pi} \left(- a ^ {3} \cos t \sin^ {2} t + a ^ {2} \cos^ {2} t - a ^ {2} \sin t \cos t + a ^ {2} b \cos^ {2} t\right) d t \\ = \left[ - \frac {1}{3} a ^ {3} \sin^ {3} t - \frac {1}{2} a ^ {3} \sin^ {2} t + \frac {1}{2} a ^ {2} (1 + b) \left(t + \frac {1}{2} \sin 2 t\right) \right] _ {0} ^ {\pi} \\ = \frac {1}{2} a ^ {2} (1 + b) \pi . \\ \end{array} \]

例 (4)

求在力 \(F(y,-x,x+y+z)\) 作用下，

(i) 质点由 \(A\) 沿螺旋线 \(L_{1}\) 到 \(B\) 所作的功 (图), 其中

\[ L _ {1}: x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = b t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi ; \]

(ii) 质点由 A 沿直线 \(L_{2}\) 到 B 所作的功.

解

\[ W = \int_ {L} F \cdot d s = \int_ {L} y \mathrm{d} x - x d y + (x + y + z) \mathrm{d} z \]

(i) 由于 \(\mathrm{dx} = -a\sin tdt,\) \(\mathrm{dy} = a\cos t\mathrm{dt},\) \(\mathrm{dz} = b\mathrm{dt},\)

\[ \begin{array}{l} W = \int_ {0} ^ {2 \pi} \left(- a ^ {2} \sin^ {2} t - a ^ {2} \cos^ {2} t + a b \cos t + a b \sin t + b ^ {2} t\right) d t \\ = 2 \pi (\pi b ^ {2} - a ^ {2}). \\ \end{array} \]

(ii) \(L_{2}\) 的参数方程

\[ x = a, y = 0, z = t, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi b. \]

由于 dx = 0, dy = 0, dz = dt, 所以

\[ W = \int_ {0} ^ {2 \pi b} (a + t) d t = 2 \pi b (a + \pi b) \]

例 (5)

设 L 为球面 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}\) 和平面 \(x + y + z = 0\) 的交线，若面对 x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向的，求

解 L 的参数方程为

\[ \begin{array}{l} x = \frac {a}{\sqrt {6}} \cos t + \frac {a}{\sqrt {2}} \sin t, y = - \frac {2 a}{\sqrt {6}} \cos t, \\ z = \frac {a}{\sqrt {6}} \cos t - \frac {a}{\sqrt {2}} \sin t, t \in [ 0, 2 \pi ]. \\ \end{array} \]

(i) \(\int_{L} y \, \mathrm{d}y = -\frac{2}{3} a^{2} \int_{0}^{2\pi} \cos t \sin t \, \mathrm{d}t = 0\) . 由对称性，

\[ \int_ {L} x \mathrm{d} x = \int_ {L} z \mathrm{d} z = 0 \]

因此， \(\int_{L}x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z = 0.\)

(ii)

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} y \mathrm{d} z = \int_ {0} ^ {2 \pi} \left(- \frac {2 a}{\sqrt {6}} \cos t\right) \left(- \frac {a}{\sqrt {6}} \sin t - \frac {a}{\sqrt {2}} \cos t\right) d t \\ = \frac {\sqrt {3}}{3} a ^ {2} \pi . \\ \end{array} \]

由对称性，

\[ \int_ {L} z \mathrm{d} x + x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} z = \sqrt {3} a ^ {2} \pi \]

例 (*6)

设 G 是 \(R^{2}\) 中的有界闭域，\(\varphi(x)\) 是 \([a,b]\) 上的连续可微函数，\(P(x,y)\) , \(Q(x,y)\) 是在 G 上的连续函数.

\[ L = \{(x, \varphi (x)) \mid x \in [ a, b ] \} \subset \operatorname{int} G, \]

则对任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在 \(\delta > 0\) ，对于任意分割

\[ T: a = x _ {0} < x _ {1} < \dots < x _ {n} = b, \]

只要 \(\|T\|=\max\left\{|x_{i}-x_{i-1}|\:i=1,\cdots,n\right\}<\delta,\) 必有

\[ \left| \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y - \int_ {l} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \right| < \varepsilon , \]

其中 l 是以 \(\left\{A_{i}=A_{i}\left(x_{i},\varphi\left(x_{i}\right)\right),i=1,2,\cdots,n\right\}\) 为端点的折线.

证 由 \(P, Q, \varphi'\) 的有界性，存在 \(M > 0\) , 使得

\[ \sup \{| P (x, y) | | (x, y) \in G \} < M, \]

\[ \sup \left\{\mid Q (x, y) \| (x, y) \in G \right\} < M, \]

\[ \sup \left\{\mid \varphi^ {\prime} (x) \| x \in [ a, b ] \right\} < M. \]

\[ \forall \varepsilon > 0, \mathrm{令} \varepsilon^ {\prime} = \frac {\varepsilon}{(1 + 2 M) (b - a)}. \]

由 P, Q 在 G 的一致连续性，存在 \(\delta' > 0\) . 使得 \(\forall A(x, y')\) , \(B(x, y'') \in G\) , \(|y' - y''| < \delta'\) , 就有

\[ \left| P \left(x, y ^ {\prime}\right) - P \left(x, y ^ {\prime \prime}\right) \right| < \varepsilon^ {\prime}, \left| Q \left(x, y ^ {\prime}\right) - Q \left(x, y ^ {\prime \prime}\right) \right| < \varepsilon^ {\prime}. \]

由 \(\varphi, \varphi'\) 在 \([a, b]\) 上的一致连续性，存在 \(\delta > 0\) , 使得 \(\forall x', x'' \in [a, b], |x' - x''| < \delta\) , 就有

\[ \left| \varphi \left(x ^ {\prime}\right) - \varphi \left(x ^ {\prime \prime}\right) \right| < \delta^ {\prime}, \left| \varphi^ {\prime} \left(x ^ {\prime}\right) - \varphi^ {\prime} \left(x ^ {\prime \prime}\right) \right| < \varepsilon^ {\prime}. \]

任意分割 \(T: a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b,\) 满足

\[ \| T \| = \max \left\{\left| x _ {i} - x _ {i - 1} \right|: i = 1, \dots , n \right\} < \delta . \]

令 \(A_{i}=A_{i}(x_{i},\varphi(x_{i}))\) ，设 \(l_{i}\) 为连接 \(A_{i-1}\) 与 \(A_{i}\) 的线段，其斜率为

\[ \frac {\varphi (x _ {i}) - \varphi (x _ {i - 1})}{x _ {i} - x _ {i - 1}} = \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}), \xi_ {i} \in [ x _ {i - 1}, x _ {i} ], i = 1, 2, \dots , n. \]

\(l = \bigcup_{i=1}^{n} l_i\) ，设 \(l\) 的方程为 \(l(x), x \in [a, b]\) . 则

\[ \forall x \in [ a, b ], | l (x) - \varphi (x) | < \delta^ {\prime}. \]

于是

\[ | \boldsymbol {P} (x, \varphi (x)) - \boldsymbol {P} (x, l (x)) | < \varepsilon^ {\prime}, \]

且

\[ \begin{array}{l} \left| \boldsymbol {Q} (x, \varphi (x)) \varphi^ {\prime} (x) - \boldsymbol {Q} (x, l (x)) \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}) \right| \\ \leq \left| \boldsymbol {Q} (x, \varphi (x)) \varphi^ {\prime} (x) - \boldsymbol {Q} (x, \varphi (x)) \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}) \right| + \left| \boldsymbol {Q} (x, \varphi (x)) \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}) - \boldsymbol {Q} (x, l (x)) \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}) \right| \\ \leq 2 M \varepsilon , \\ \end{array} \]

设 L 在 \(A_{i-1}\) 到 \(A_{i}\) 的那段曲线为 \(L_{i}, i = 1, 2, \cdots, n\) . 则

\[ L = \bigcup_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} \]

因此

\[ \begin{array}{l} \left| \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y - \int_ {I} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \right| \\ \leq \sum_ {i = 1} ^ {n} \left| \int_ {L _ {i}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y - \int_ {l _ {i}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \right| \\ + \sum_ {i = 1} ^ {n} \int_ {x _ {i - 1}} ^ {x _ {i}} | Q (x, \varphi (x)) \varphi^ {\prime} (x) - Q (x, l (x)) \varphi^ {\prime} (\xi_ {i}) | d x \\ = \sum_ {i = 1} ^ {n} \int_ {x _ {i - 1}} ^ {x _ {i - 1}} | P (x, \varphi (x)) - P (x, l (x)) | \mathrm{d} x \\ \leq \sum_ {i = 1} ^ {n} \varepsilon^ {\prime} \left| x _ {i} - x _ {i - 1} \right| + \sum_ {i = 1} ^ {n} 2 \varepsilon^ {\prime} M \left| x _ {i} - x _ {i - 1} \right| \\ = (1 + 2 M) (b - a) \varepsilon^ {\prime} < \varepsilon . \\ \end{array} \]

注 例 6 说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.

两类曲线积分的联系

虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型，且有着不同的特性，但在一定条件下，如在规定了曲线方向之后，可以建立它们之间的联系.

设 L 为从 A 到 B 的有向光滑曲线，它以弧长 s 为参数，于是

\[ L: \left\{ \begin{array}{l} x = x (s), \\ y = y (s), \end{array} \right. 0 \leq s \leq l, \]

其中 l 为曲线 L 的全长，且点 A 与 B 的坐标分别为 \((x(0), y(0))\) 与 \((x(l), y(l))\) .

曲线 \(L\) 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方。现以 \((t, x)\) ， \((t, y)\) 分别表示切线方向 \(t\) 与 \(x\) 轴与 \(y\) 轴正向的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦是

\[ \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} s} = \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {x}), \frac {\mathrm{d} y}{\mathrm{d} s} = \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {y}). \tag {8} \]

若 \(P(x,y)\) , \(Q(x,y)\) 为曲线 L 上的连续函数，则由 (6) 式得

\[ \begin{array}{l} \int_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = \int_ {0} ^ {l} [ P (x (s), y (s)) \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {x}) + Q (x (s), y (s)) \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {y}) ] \mathrm{d} s \\ = \int_ {L} [ P (x, y) \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {x}) + Q (x, y) \cos (\boldsymbol {t}, \boldsymbol {y}) ] \mathrm{d} s, \tag {9} \\ \end{array} \]

最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.

注 当 (9) 式左边第二型曲线积分中 \(L\) 改变方向时，积分值改变符号，相应在 (9) 式右边第一型曲线积分中，曲线上各点的切线方向指向相反的方向 (即指向弧长减少的方向). 这时夹角 \((t, x)\) 和 \((t, y)\) 分别与原来的夹角相差一个弧度 \(\pi\) , 从而 \(\cos(t, x)\) 和 \(\cos(t, y)\) 都要变号。因此，一旦方向确定了，公式 (9) 总是成立的.

往年试题

5、（7 分）计算第二型曲线积分

\[ \int_ {L} (x + e ^ {\sin y}) d y + (\frac {1}{2} - y) d x \]

其中曲线 L 是由第一象限中的直线段 \(x + y = 1\) 与第二象限中的圆弧 \(x^{2} + y^{2} = 1\) 构成，其方向由 \(A(1,0)\) 到 \(B(0,1)\) 再到 \(C(-1,0)\) 。

作业

P. 214

1 单

2

3