隐函数定理及其应用

§1 隐函数

隐函数是函数关系的另一种表现形式.

讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.

隐函数概念

显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如:

\[ y = 1 + \sin^ {3} x, z = \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}. \]

隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个方程式所确定的函数，通常称为隐函数。例如：

\[ x ^ {2 / 3} + y ^ {2 / 3} = a ^ {2 / 3}, \quad x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} - 3 x y = 0 \]

设 \(E\subset \mathbb{R}^2,F:E\to \mathbb{R}\) . 对于方程

\[ F (x, y) = 0. \tag {1} \]

若存在 \(I, J \subset \mathbb{R}\) , 使得 \(\forall x \in I\) , 有唯一确定的 \(y \in J\) , 使得 \((x, y) \in E\) , 且满足方程 (1), 则称由方程 (1) 确定了一个定义在 \(I\) , 值域含于 \(J\) 的隐函数。如果把此隐函数记为

\[ y = f (x), x \in I, y \in J, \]

则成立恒等式

\[ F (x, f (x)) \equiv 0, x \in I \]

注 1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数。上面把隐函数仍记为 \(y = f(x)\) , 这与它能否用显函数表示无关。例: \(x - y + \frac{1}{2}\sin y = 0\)

注 2 不是任一方程 \(F(x,y)=0\) 都能确定隐函数，例如 \(x^{2}+y^{2}+1=0\) 显然不能确定任何隐函数.

注 3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围。例如由方程 \(x^{2} + y^{2} = 1\) 可确定如下两个函数：

\[ y = f _ {1} (x) \left(= \sqrt {1 - x ^ {2}}\right), \quad x \in [ - 1, 1 ], y \in [ 0, 1 ]; \]

\[ y = f _ {2} (x) \left(= - \sqrt {1 - x ^ {2}}\right), x \in [ - 1, 1 ], y \in [ - 1, 0 ]. \]

注 4 类似地可定义多元隐函数。例如：由方程 \(F(x, y, z) = 0\) 确定的隐函数 \(z = f(x, y)\) , 由方程 \(F(x, y, z, u) = 0\) 确定的隐函数 \(u = f(x, y, z)\) , 等等。在 §2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.

隐函数存在条件分析

当函数 \(F(x,y)\) 满足怎样一些条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 \(y=f(x)\) ?

并使该隐函数具有连续、可微等良好性质？

\[ \left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} F (x, f (x)) \right| _ {x = x _ {0}} = F _ {x} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) + F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) f ^ {\prime} \left(x _ {0}\right) = 0, \]

\[ \Rightarrow f ^ {\prime} \left(x _ {0}\right) = - \frac {F _ {x} \left(x _ {0} , y _ {0}\right)}{F _ {y} \left(x _ {0} , y _ {0}\right)}. \]

由此可见，\(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq0\) 是一个重要条件.

隐函数存在条件 (c) 的直观理解

\[ \left(F _ {x} \left(x _ {0}, y _ {0}\right), F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right)\right) \neq (0, 0) \]

直观上，这表示在点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 附近，函数 \(F(x,y)\) 至少在某个方向上有一阶变化。

因此，零水平集

\[ F (x, y) = 0 \]

在 \(P_{0}\) 附近不会退化成孤立点、交叉点或尖点，而是像一条正常曲线。

若

\[ F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) = 0, \qquad F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) = 0, \]

则 F 在 \(P_{0}\) 处的一阶变化完全消失。此时 \(F(x,y)=0\) 的形状可能退化。

例 1: 孤立点

\[ F (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}. \]

\[ x ^ {2} + y ^ {2} = 0 \]

只有一个解：

\[ (x, y) = (0, 0). \]

这不是一条曲线，因此不能表示为

\[ y = f (x). \]

例 2: 两条曲线交叉

\[ F (x, y) = y ^ {2} - x ^ {2}. \]

于是

\[ F (x, y) = 0 \]

等价于

\[ y ^ {2} - x ^ {2} = 0, \]

即

\[ (y - x) (y + x) = 0. \]

所以零水平集为

\[ y = x \quad {\text {或}} \quad y = - x. \]

在 \((0,0)\) 附近，一个 \(x\) 对应两个 \(y\) ，因此不能唯一确定一个函数

\[ y = f (x). \]

\(\left(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0})\right)\neq(0,0)\) 的几何意义

\[ \nabla F (x _ {0}, y _ {0}) = \left(F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}), F _ {y} (x _ {0}, y _ {0})\right) \]

是曲线

\[ F (x, y) = 0 \]

在点 \(P_{0}\) 处的法向量。

若

\[ \nabla F (x _ {0}, y _ {0}) \neq 0, \]

则该点处有明确的法线，从而有明确的切线。

因此，零水平集在该点附近是一条光滑曲线。

梯度不为零 \(\Longrightarrow\) 零水平集局部像一条正常曲线

为什么还要要求 \(F_{y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0\) ?

\[ (F _ {x}, F _ {y}) \neq (0, 0) \]

只能保证零水平集是一条正常曲线。

但要由

\[ F (x, y) = 0 \]

确定

\[ y = f (x), \]

还需要这条曲线不是竖直的。

由复合函数求导：

\[ \frac {d}{d x} F (x, f (x)) = F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) + F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) f ^ {\prime} (x _ {0}) = 0. \]

因此 \(f'(x_{0}) = -\frac{F_{x}(x_{0}, y_{0})}{F_{y}(x_{0}, y_{0})}\) . 所以必须有

\[ F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) \neq 0. \]

隐函数定理

定理 (18.1 隐函数存在唯一性定理)

设 \(F(x,y) = 0\) 中的 \(F(x,y)\) 满足：

则：

\(1^{\circ}\) 存在某邻域 \(U(P_0)\subset D\) ，在 \(U(P_0)\) 上 \(F(x,y) = 0\) 惟一地确定了一个隐函数

\[ y = f (x), \quad x \in (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha) \]

它满足: \(f(x_{0}) = y_{0}\) ，且当 \(x \in (x_{0} - \alpha, x_{0} + \alpha)\) 时，使得

\[ (x, f (x)) \in U \left(P _ {0}\right), \quad F (x, f (x)) \equiv 0; \]

\(2^{\circ}f(x)\) 在 \((x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha)\) 上连续.

证明.

首先证明隐函数的存在与惟一性

证明过程归结起来有以下四个步骤

证明.

(a) \(F_{y}(x,y)\) “一点正，一片正”

由条件 (iv) \(F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\) ，不妨设

\[ F _ {y} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) > 0. \]

因为 \(F_{y}(x,y)\) 连续，所以根据保号性，\(\exists\beta>0\) , 使得

\[ F _ {y} (x, y) > 0, \quad (x, y) \in S, \]

其中 \(S = [x_{0} - \beta, x_{0} + \beta] \times [y_{0} - \beta, y_{0} + \beta] \subset D.\)

(b) \(F(x, y)\) “正、负上下分”

因 \(F_{y}(x,y) > 0,(x,y)\in S\) ，故 \(\forall x\in [x_0 - \beta ,x_0 + \beta ]\) ，把 \(F(x,y)\) 看作 \(y\) 的函数时，它在 \([y_0 - \beta ,y_0 + \beta ]\) 上严格增，且连续（据条件 (i)).

特别对于函数 \(F(x_{0},y)\) ，由条件 \(F(x_{0},y_{0})=0\) 可知

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0} + \beta\right) > 0, \]

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0} - \beta\right) < 0. \]

(c) \(F(x,y)\) “同号两边伸”

因为 \(F(x,y_{0}-\beta)\) , \(F(x,y_{0}+\beta)\) 关于 x 连续，故由 (b) 的结论，根据保号性，\(\exists\alpha(0<\alpha\leq\beta)\) , 使得

\[ \begin{array}{l} F \left(x, y _ {0} + \beta\right) > 0, \\ F \left(x, y _ {0} - \beta\right) < 0, \\ x \in (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha). \\ \end{array} \]

(d) “利用介值性”

\(\forall \hat{x} \in (x_0 - \alpha, x_0 + \alpha)\) , 因 \(F(\hat{x}, y)\) 关于 \(y\) 连续，且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理，存在惟一的 \(\hat{y} \in (y_0 - \beta, y_0 + \beta)\) , 满足 \(F(\hat{x}, \hat{y}) = 0\) .

由 \(\hat{x}\) 的任意性，这就证得存在惟一的隐函数:

\[ \begin{array}{l} y = f (x), \\ \left\{ \begin{array}{l} x \in I = (x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha), \\ y \in J = (y _ {0} - \beta , y _ {0} + \beta). \end{array} \right. \\ \end{array} \]

若记 \(U(P_{0}) = I \times J\) ，则定理结论 \(1^{\circ}\) 得证.

下面再来证明上述隐函数的连续性：

即 \(\forall\bar{x}\in(x_{0}-\alpha,x_{0}+\alpha)\) ，欲证上述 \(f(x)\) 在 \(\bar{x}\) 连续.

如图 18-2 所示，\(\forall\varepsilon>0\) , 取 \(\varepsilon\) 足够小，使得 \(y_{0}-\beta\leq\bar{y}-\varepsilon<\bar{y}+\varepsilon\leq y_{0}+\beta\) , 其中 \(\bar{y}=f(\bar{x})\) .

由前面 \(F_{y} \neq 0\) 时的假设， \(F_{y} > 0\) ，i.e., \(F(x, y)\) 对 y 严格增，而

\[ F (\bar {x}, \bar {y}) = 0, \]

推知

\[ F (\bar {x}, \bar {y} - \varepsilon) < 0, \quad F (\bar {x}, \bar {y} + \varepsilon) > 0 \]

类似于前面 (c)“同号两边伸”， \(\exists \delta > 0\) 使得

\[ \left(\bar {x} - \delta , \bar {x} + \delta\right) \subset \left(x _ {0} - \alpha , x _ {0} + \alpha\right), \]

且当 \(x \in (\bar{x} - \delta, \bar{x} + \delta)\) 时，有

\[ F (x, \bar {y} - \varepsilon) < 0, \quad F (x, \bar {y} + \varepsilon) > 0. \]

类似于前面 (d), 由于隐函数惟一，故有

\[ \bar {y} - \varepsilon < f (x) < \bar {y} + \varepsilon , \quad x \in (\bar {x} - \delta , \bar {x} + \delta), \]

因此 \(f(x)\) 在 x 连续.

由 \(\bar{x}\) 的任意性，便证得 \(f(x)\) 在 \((x_{0}-\alpha, x_{0}+\alpha)\) 上处处连续.

注 1 定理 18.1 的条件 (i)，即 “在以 \(P_{0}(x_{0},y_{0})\) 为内点的某区域 \(D \subset R^{2}\) 上连续”，(iv) 即 “\(F_{y}(x_{0},y_{0}) \neq 0\)” 仅是充分条件，

如: (1) \(F(x, y) = y^3 - x^3 = 0\) , 其 \(F_y(0, 0) = 0\) , 在点 \((0, 0)\) 虽不满足条件 (iv), 但仍能确定惟一的隐函数 \(y = x\) .

(2) \(F(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - x^2 + y^2 = 0\) (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足条件 (iv); 如图 18-3 所示，在该点无论多么小的邻域内，确实图 18-3 不能确定惟一的隐函数.

注 2 条件 (iii)、(iv) 在证明中只是用来保证在邻域 \(U(P_0)\) 内 \(F(x,y)\) 关于 \(y\) 为严格单调。之所以采用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性的作用.

注 3 定理 18.1 是一个局部性的隐函数存在定理.

例如，从以上双纽线图形看出：除了 \((0,0),(1,0),(-1,0)\) 三点以外，曲线上其余各点处都存在局部隐函数 \(y = f(x)\) （这不难用定理 18.1 加以检验，见后面第四段的例 1）.

注 4 在方程 \(F(x,y)=0\) 中，x 与 y 的地位是平等的。当条件 (iii)、(iv) 改为 “\(F_{x}(x,y)\) 连续，且 \(F_{x}(x_{0},y_{0})\neq0\)” 时，将存在局部的连续隐函数 \(x=g(y)\) .

定理 (18.2 隐函数可微性定理)

设函数 \(F(x,y)\) 满足定理 18.1 中的条件 \((i)\sim (iv)\) ，在 \(D\) 内还存在连续 \(F_{x}(x,y)\) . 则由方程 \(F(x,y) = 0\) 所确定的隐函数 \(y = f(x)\) 在 \(I\) 内有连续的导函数，且

\[ f ^ {\prime} (x) = - \frac {F _ {x} (x , y)}{F _ {y} (x , y)}, (x, y) \in I \times J. \tag {2} \]

证明.

设 \(x, x + \Delta x \in I\) ，则

\[ y = f (x), \quad y + \Delta y = f (x + \Delta x) \in J. \]

由条件易知 F 可微，并有

\[ F (x, y) = 0, \quad F (x + \Delta x, y + \Delta y) = 0. \]

使用微分中值定理，\(\exists\theta(0<\theta<1)\) , 使得

\[ 0 = F (x + \Delta x, y + \Delta y) - F (x, y) \]

证明.

\[ \Rightarrow \frac {\Delta y}{\Delta x} = - \frac {F _ {x} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)}{F _ {y} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)} \]

因 \(f, F_x, F_y\) 都是连续函数，故 \(\Delta x \to 0\) 时 \(\Delta y \to 0\) , 并有

\[ \begin{array}{l} f ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = - \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {F _ {x} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)}{F _ {y} (x + \theta \Delta x , y + \theta \Delta y)} \\ = - \frac {F _ {x} (x , y)}{F _ {y} (x , y)}, \quad (x, y) \in I \times J. \\ \end{array} \]

显然 \(f'(x)\) 也是连续函数.

注 1 当 \(F(x,y)\) 存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也二阶可导。应用两次复合求导法，得

\[ F _ {x} (x, y) + F _ {y} (x, y) y ^ {\prime} = 0, \]

\[ F _ {x x} + F _ {x y} y ^ {\prime} + \left(F _ {y x} + F _ {y y} y ^ {\prime}\right) y ^ {\prime} + F _ {y} y ^ {\prime \prime} = 0. \]

将 (2) 式代入上式，经整理后得到

\[ \begin{array}{l} y ^ {\prime \prime} = - \frac {1}{F _ {y}} \left(F _ {x x} + 2 F _ {x y} y ^ {\prime} + F _ {y y} y ^ {\prime 2}\right) \\ = \frac {2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} - F _ {y} ^ {2} F _ {x x} - F _ {x} ^ {2} F _ {y y}}{F _ {y} ^ {3}}. \\ \end{array} \]

注 2 利用公式隐函数的一阶、二阶导数公式求隐函数的极值:

(a) 求使 \(y' = 0\) 的点 \(A(x, y)\) ，即 \(\left\{\begin{aligned} F &= 0 \\ F_x &= 0 \end{aligned}\right.\) 的解.

(b) 在点 A 处因 \(F_{x}=0\) ，而使 (3)

\[ y ^ {\prime \prime} = \frac {2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} - F _ {y} ^ {2} F _ {x x} - F _ {x} ^ {2} F _ {y y}}{F _ {y} ^ {3}} \]

化简为

\[ \left. y ^ {\prime \prime} \right| _ {A} = - \left. \frac {F _ {x x}}{F _ {y}} \right| _ {A}. \tag {4} \]

(c) 由极值判别法，当 \(y''|_A < 0\) (或 \(>0\)) 时，隐函数 \(y = f(x)\) 在 \(\tilde{x}\) 取得极大值 (或极小值) \(\tilde{y}\) .

注 3 由方程

\[ F (x, y, z) = 0 \tag {5} \]

确定隐函数 \(z = f(x, y)\) 的相关定理简述如下:

设在以点 \(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\) 为内点的某区域 \(D\subset R^{3}\) 上，F 的所有一阶偏导数都连续，并满足

\[ F \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) = 0, F _ {z} \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) \neq 0. \]

则存在某邻域 \(U(P_{0}) \subset D\) ，在其内存在惟一的、连续可微的隐函数 \(z = f(x, y)\) ，且有

\[ f _ {x} = \frac {\partial z}{\partial x} = - \frac {F _ {x}}{F _ {z}}, \quad f _ {y} = \frac {\partial z}{\partial y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {z}} \tag {6} \]

更一般地，由方程

\[ F \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}, y\right) = 0 \]

确定隐函数 \(y = f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) 的相关定理，见定理 18.2，这里不再详述.

隐函数求导举例

例 (1)

试讨论双纽线方程

\[ \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) ^ {2} - x ^ {2} + y ^ {2} = 0 \]

所能确定的隐函数 \(y = f(x)\) 或 \(x = g(y)\) 的极值.

解 令 \(F(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - x^2 + y^2\) ，它有连续的

\[ F _ {x} = 4 x \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) - 2 x, F _ {y} = 4 y \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) + 2 y. \]

求解 \(\left\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\F_{x}(x,y)=0\end{array}\right.\) 与 \(\left\{\begin{array}{l}F(x,y)=0\\F_{y}(x,y)=0\end{array}\right.\) ，分别得到

\[ F _ {x} (0, 0) = F _ {x} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \pm \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = 0 \]

\[ F _ {y} (0, 0) = F _ {y} (\pm 1, 0) = 0. \]

所以，

除 \((0,0)\) , \((\pm1,0)\) 这三点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数 \(y = f(x)\) . 同理，除 \((0,0)\) , \(\left(\pm\frac{\sqrt{6}}{4},\pm\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\) 这五点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数

\[ x = g (y). \]

再考虑隐函数 \(y = f(x)\) 的极值。由于

\[ F _ {x x} (x, y) = 2 \left(6 x ^ {2} + 2 y ^ {2} - 1\right), \]

\[ F _ {y} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = \frac {\sqrt {2}}{2}, F _ {x x} \left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right) = \frac {3}{2}, \]

\[ y ^ {\prime \prime} | _ {\left(\pm \frac {\sqrt {6}}{4}, \frac {\sqrt {2}}{4}\right)} ^ {4} = - \frac {3}{2} / \frac {\sqrt {2}}{2} = - \frac {3 \sqrt {2}}{2} < 0 \]

因此， \(f(x)\) 在 \(x = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}\) 处取得极大值 \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

由对称性又知，\(f(x)\) 在 \(x = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}\) 处还取得极小值 \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\) .

例 (2)

讨论笛卡儿叶形线 (图 18-4)

\[ x ^ {3} + y ^ {3} = 3 a x y \quad (a > 0) \]

所确定的隐函数 \(y = f(x)\) 的存在性，并求其一阶、二阶导数.

解 令 \(F(x, y) = x^3 + y^3 - 3axy\) . 先求出在曲线 (7) 上使 \(F_y = 3(y^2 - ax) = 0\) 的点为 \(O(0, 0), B(\sqrt[3]{4}a, \sqrt[3]{2}a)\) . 除此两点外，方程 (7) 在其他各点处都能确定局部的隐函数 \(y = f(x)\) .

由隐函数求导公式 (2) 求得

\[ y ^ {\prime} = - \frac {F _ {x}}{F _ {y}} = - \frac {3 (x ^ {2} - a y)}{3 (y ^ {2} - a x)} = \frac {a y - x ^ {2}}{y ^ {2} - a x}. \]

为了求出二阶导数，要使用公式 (3), 先算出:

\[ 2 F _ {x} F _ {y} F _ {x y} = - 5 4 a \left(y ^ {2} - a x\right) \left(x ^ {2} - a y\right), \]

\[ F _ {y} ^ {2} F _ {x x} = 5 4 x \left(y ^ {2} - a x\right) ^ {2}, \]

\[ F _ {x} ^ {2} F _ {y y} = 5 4 y \left(x ^ {2} - a y\right) ^ {2}. \]

所以 \(y'' = \frac{2F_x F_y F_{xy} - F_y^2 F_{xx} - F_x^2 F_{yy}}{F_y^3}\)

\[ = \frac {- 5 4 \left[ a (y ^ {2} - a x) (x ^ {2} - a y) + x (y ^ {2} - a x) ^ {2} + y (x ^ {2} - a y) ^ {2} \right]}{2 7 (y ^ {2} - a x) ^ {3}} \]

\[ = \frac {- 2 \left[ - 3 a x ^ {2} y ^ {2} + x y \left(x ^ {3} + y ^ {3} + a ^ {3}\right) \right]}{\left(y ^ {2} - a x\right) ^ {3}} \]

\[ = \frac {- 2 \left[ - 3 a x ^ {2} y ^ {2} + x y \left(3 a x y + a ^ {3}\right) \right]}{\left(y ^ {2} - a x\right) ^ {3}} \]

\[ = - \frac {2 a ^ {3} x y}{(y ^ {2} - a x) ^ {3}}. \]

类似于例 1 的方法，求出曲线上使 \(y' = 0\) 的点为 \(A(\sqrt[3]{2}a, \sqrt[3]{4}a)\) . 在几何上，它是两条曲线

\[ F (x, y) = 0 \text {和} F _ {x} (x, y) = 0 \]

的交点 (见图).

容易验证 \(y''|_{A} = -\frac{4}{\sqrt[3]{2}a} < 0\) ，所以隐函数 \(y = f(x)\) 在点 A 取得极大值 \(\sqrt[3]{4}a\) .

以上讨论同时说明，该曲线在点 A 和 B 分别有水平切线和垂直切线.

例 (3)

试求由方程 \(xyz^{3} + x^{2} + y^{3} - z = 0\) 所确定的隐函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P(0, 1, 1)\) 处的全微分.

解法 1 (形式计算法)

对方程两边微分，整理得

\[ \begin{array}{l} \left(y z ^ {3} + 2 x\right) \mathrm{d} x + \left(x z ^ {3} + 3 y ^ {2}\right) \mathrm{d} y \\ + \left(3 x y z ^ {2} - 1\right) \mathrm{d} z = 0, \\ \end{array} \]

将 \((x,y,z) = (0,1,1)\) 代入，又得

\[ \begin{array}{l} \mathbf {d} x + 3 \mathbf {d} y - \mathbf {d} z = 0, \\ \Rightarrow d z | _ {P} = \mathbf {d} x + 3 \mathbf {d} y. \\ \end{array} \]

解法 2 (隐函数法)

设

\[ F (x, y, z) = x y z ^ {3} + x ^ {2} + y ^ {3} - z. \]

由于 \(F(0,1,1)=0, F_{x}, F_{y}, F_{z}\) 在 \(R^{3}\) 上处处连续，而

\[ F _ {z} (0, 1, 1) = \left(3 x y z ^ {2} - 1\right) \bigg | _ {P} = - 1 \neq 0, \]

因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数 \(z = z(x, y)\) ; 且可求得它的偏导数如下:

\[ \frac {\partial z}{\partial x} = - \frac {F _ {x}}{F _ {z}} = \frac {y z ^ {3} + 2 x}{1 - 3 x y z ^ {2}}, \quad \frac {\partial z}{\partial y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {z}} = \frac {x z ^ {3} + 3 y ^ {2}}{1 - 3 x y z ^ {2}}. \]

以 \((x,y,z)=(0,1,1)\) 代入，便得到

\[ \left. z _ {x} \right| _ {P} = 1, \left. z _ {y} \right| _ {P} = 3, \left. \mathrm{d} z \right| _ {P} = \mathrm{d} x + 3 \mathrm{d} y. \]

例 (4)

用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数

解 设 \(y = f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某邻域内有连续的导函数 \(f'(x)\) ，且 \(f(x_{0}) = y_{0}\) 。现在来考察方程

\[ F (x, y) = y - f (x) = 0. \tag {8} \]

由于 \(F(x_{0},y_{0})=0,F_{y}=1,F_{x}(x_{0},y_{0})=-f'(x_{0})\) ，因此只要 \(f'(x_{0})\neq0\) ，就能满足隐函数定理的所有条件，由方程（8）便能确定连续可微的隐函数

\[ x = g (y), \quad y \in U \left(y _ {0}\right). \]

因它满足 \(F(y, g(y)) = y - f(g(y)) \equiv 0\) ，故它就是 \(y = f(x)\) 的反函数。应用隐函数求导公式，可得

\[ g ^ {\prime} (y) = \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = - \frac {F _ {y}}{F _ {x}} = - \frac {1}{- f ^ {\prime} (x)} = \frac {1}{f ^ {\prime} (x)}. \]

例 (5)

设 \(z = z(x,y)\) 是由 \(F(x - z,y - z) = 0\) 所确定的隐函数，其中 \(\pmb{F}\) 具有连续的二阶偏导数，试证： \(z_{xx} + 2z_{xy} + z_{yy} = 0.\)

证明.

易知 \(F_{x} = F_{1}, F_{y} = F_{2}, F_{z} = -(F_{1} + F_{2})\) ，于是有

\[ z _ {x} = F _ {1} / \left(F _ {1} + F _ {2}\right), \quad z _ {y} = F _ {2} / \left(F _ {1} + F _ {2}\right). \]

由此得到 \(z_{x} + z_{y} = 1\) ，再分别对 x 与 y 求偏导数，又得 \(z_{xx} + z_{yx} = 0, z_{xy} + z_{yy} = 0\) 。因在假设条件下， \(z_{xy} = z_{yx}\) ，故将此两式相加便得所需结果。

复习思考题

\[ x = x (y, z), y = y (z, x), z = z (x, y). \]

验证： \(\frac{\partial x}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x} = -1\cdot (\text{由此能说明些什么？})\)

1. 试对例 3 的两种解法（形式计算法与隐函数法）作一比较，指出两者各有哪些优缺点？

作业

p. 156

1、3 单

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§2 隐函数组

隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础。利用隐函数组的一般思想，又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题

隐函数组概念

设有一组方程

\[ \left\{ \begin{array}{l} F (x, y, u, v) = 0 \\ G (x, y, u, v) = 0 \end{array} \right. \tag {1} \]

其中 \(F\) 与 \(G\) 定义在 \(V \subset \mathbb{R}^4\) . 若存在 \(D, E \subset \mathbb{R}^2\) , 使得对于任给的 \((x, y) \in D\) , 有惟一的 \((u, v) \in E\) 与之对应，能使 \((x, y, u, v) \in V\) , 且满足方程组 (1), 则称由 (1) 确定了隐函数组

\[ \left\{ \begin{array}{l l} u = u (x, y), & (x, y) \in D, (u, v) \in E \\ v = v (x, y), & \end{array} \right. \]

并有

\[ \left\{ \begin{array}{l l} F (x, y, u (x, y), v (x, y)) \equiv 0, \\ G (x, y, u (x, y), v (x, y)) \equiv 0, \end{array} \right. (x, y) \in D. \]

关于隐函数组的一般情形 (含有 \(m + n\) 个变量的 \(m\) 个方程所确定的 \(n\) 个隐函数), 在本章不作详细讨论.

若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐函数 \(u = u(x, y)\) 与 \(v = v(x, y)\) ，则函数 \(F\) 、 \(G\) 应满足何种条件呢？

不妨先设 \(F\) 、 \(G\) 都可微，由复合求导法，通过对 (1) 分别求关于 \(x\) 与关于 \(y\) 的偏导数，得到

\[ \left\{ \begin{array}{l} F _ {x} + F _ {u} u _ {x} + F _ {v} v _ {x} = 0 \\ G _ {x} + G _ {u} u _ {x} + G _ {v} v _ {x} = 0 \end{array} \right. \tag {2} \]

\[ \left\{ \begin{array}{l} F _ {y} + F _ {u} u _ {y} + F _ {v} v _ {y} = 0 \\ G _ {y} + G _ {u} u _ {y} + G _ {v} v _ {y} = 0 \end{array} \right. \tag {3} \]

能由 (2) 与 (3) 惟一解出 \((u_x, v_x)\) 与 \((u_y, v_y)\) 的充要条件是 雅可比 (Jacobi) 行列式 不等于零，即

\[ J _ {u v} = \frac {\partial (F , G)}{\partial (u , v)} \stackrel {\text { def }} {=} \left| \begin{array}{c c} F _ {u} & F _ {v} \\ G _ {u} & G _ {v} \end{array} \right| \neq 0 \tag {4} \]

由此可见，只要 \(F, G\) 具有连续的一阶偏导数，且 \(J|_{P_0} \neq 0\) ，其中 \(P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)\) 是满足 (1) 的某一初始点，则由保号性定理， \(\exists U(P_0)\) ，使得在此邻域内 (4) 式成立.

根据以上分析，便有下述隐函数组定理.

定理 (18.4 隐函数组定理)

设方程组 \(\left\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\G(x,y,u,v)=0,\end{array}\right.\) 满足:

(i) 在以点 \(P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)\) 为内点的某区域 \(V \subset \mathbb{R}^4\) 上连续；

(ii) \(F(P_0) = G(P_0) = 0\) （初始条件）；

(iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数；

\[ (i v) J | _ {P _ {0}} = \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (u , v)} \right| _ {P _ {0}} \neq 0. \]

则有如下结论成立：

\(1^{\circ}\) 必定存在邻域 \(U(P_0) = U(Q_0) \times U(W_0) \subset V\) , 其中 \(Q_0 = (x_0, y_0)\) , \(W_0 = (u_0, v_0)\) , 使得在 \(U(P_0)\) 上方程 (1) 唯一确定了定义在 \(U(Q_0)\) 上的两个二元隐函数.

\[ \left\{ \begin{array}{l} u = u (x, y), \\ v = v (x, y), \end{array} \right. (x, y) \in U \left(Q _ {0}\right), (u, v) \in U \left(W _ {0}\right); \]

且满足 \(u_{0}=u(x_{0},y_{0}),v_{0}=v(x_{0},y_{0})\) 以及

\[ \left\{ \begin{array}{l} F (x, y, u (x, y), v (x, y)) \equiv 0, \\ G (x, y, u (x, y), v (x, y)) \equiv 0 \end{array} \right. (x, y) \in U \left(Q _ {0}\right) \]

\(2^{0}u(x,y),v(x,y)\) 在 \(U(Q_{0})\) 上连续.

\(3^{0}u(x,y),v(x,y)\) 在 \(U(Q_0)\) 上存在一阶连续偏导数，且有

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial u}{\partial x} = - \frac {J _ {x v}}{J _ {u v}} \\ \frac {\partial u}{\partial y} = - \frac {J _ {y v}}{J _ {u v}} \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial v}{\partial x} = - \frac {J _ {u x}}{J _ {u v}} \\ \frac {\partial v}{\partial y} = - \frac {J _ {u y}}{J _ {u v}} \end{array} \right. \]

注：分母 \(J_{\alpha \beta}\) 中的 \(\alpha \beta\) 是中间变量。若 \(J_{\alpha \beta} = 0\) ，意味着不能确定 \(\alpha, \beta\) 是否可看做自变量的隐函数

证明从略。定理的解释如下

(1) 由方程组 (1) 的第一式 \(F(x, y, u, v) = 0\) 确定隐函数 \(u = \varphi(x, y, v)\) ，且有

\[ \varphi_ {x} = - F _ {x} / F _ {u}, \quad \varphi_ {y} = - F _ {y} / F _ {u}, \quad \varphi_ {v} = - F _ {v} / F _ {u}. \]

(2) 将 \(u = \varphi(x, y, v)\) 代入方程组 (1) 的第二式，得

\[ H (x, y, v) = G (x, y, \varphi (x, y, v), v) = 0. \]

(3) 再由此方程确定隐函数 \(v = v(x, y)\) ，并代回至

\[ u = \varphi (x, y, v (x, y)) = u (x, y). \]

这样就得到了一组隐函数

\[ u = u (x, y), v = v (x, y) \]

通过详细计算，又可得出如下一些结果:

\[ H _ {x} = G _ {x} + G _ {u} \varphi_ {x}, H _ {v} = G _ {u} \varphi_ {v} + G _ {v} \]

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial u}{\partial x} = \varphi_ {x} + \varphi_ {v} v _ {x} = - \frac {F _ {x}}{F _ {u}} - \frac {F _ {v}}{F _ {u}} \left(- \frac {H _ {x}}{H _ {v}}\right) \\ = - \frac {F _ {x}}{F _ {u}} - \frac {F _ {v}}{F _ {u}} \cdot \frac {G _ {x} + G _ {u} \varphi_ {x}}{G _ {u} \varphi_ {v} + G _ {v}} = \dots = - \frac {1}{J} \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , v)} \\ \frac {\partial u}{\partial y} = \varphi_ {y} + \varphi_ {v} v _ {y} = \dots = - \frac {1}{J} \frac {\partial (F , G)}{\partial (y , v)} \\ \end{array} \]

同理又有

\[ \frac {\partial v}{\partial x} = - \frac {1}{J} \frac {\partial (F , G)}{\partial (u , x)}, \]

\[ \frac {\partial v}{\partial y} = - \frac {1}{J} \frac {\partial (F , G)}{\partial (u , y)} \]

注 若将定理 18.4 条件 (iv) 改为 \(\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}\right|_{P_0} \neq 0\) ，则方程组 (1) 能确定的隐函数组是 \(y = y(u,v), v = v(u,x)\) .

例 (1)

设方程组

\[ \left\{ \begin{array}{l} x y + y z ^ {2} + 4 = 0, \\ x ^ {2} y + y z - z ^ {2} + 5 = 0. \end{array} \right. \tag {5} \]

在点 \(P_{0}(1,-2,1)\) 的近旁能确定怎样的隐函数组？并计算各隐函数在点 \(P_{0}\) 处的导数.

解 易知点 \(P_{0}\) 满足方程组 (5). 设

\[ \left\{ \begin{array}{l l} F (x, y, z) = x y + y z ^ {2} + 4, \\ G (x, y, z) = x ^ {2} y + y z - z ^ {2} + 5, \end{array} \right. \]

它们在 \(R^3\) 上有连续的各阶偏导数。再考察 \(F, G\) 在点 \(P_0\) 关于所有变量的雅可比矩阵

\[ \left[ \begin{array}{c c c} F _ {x} & F _ {y} & F _ {z} \\ G _ {x} & G _ {y} & G _ {z} \end{array} \right] _ {P _ {0}} = \left[ \begin{array}{c c c} y & x + z ^ {2} & 2 y z \\ 2 x y & x ^ {2} + z & y - 2 z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} - 2 & 2 & - 4 \\ - 4 & 2 & - 4 \end{array} \right]. \]

由于

\[ \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)} \Big | _ {P _ {0}} = \left| \begin{array}{c c} - 2 & 2 \\ - 4 & 2 \end{array} \right| = 4 \neq 0, \]

\[ \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (y , z)} \right| _ {P _ {0}} = \left| \begin{array}{c c} 2 & - 4 \\ 2 & - 4 \end{array} \right| = 0, \quad \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (z , x)} \right| _ {P _ {0}} = \left| \begin{array}{c c} - 4 & - 2 \\ - 4 & - 4 \end{array} \right| = 8 \neq 0, \]

因此由隐函数组定理可知，在点 \(P_0\) 近旁可以惟一地确定隐函数组:

\[ \left\{ \begin{array}{l} {x = x (z),} \\ {y = y (z),} \end{array} \right. \text {与} \left\{ \begin{array}{l} z = z (y), \\ x = x (y) \end{array} \right. \]

但不能肯定 \(y, z\) 可否作为 \(x\) 的两个隐函数.

运用定理 18.4 的结论 \(3^{\circ}\) ，可求得隐函数在点 \(P_{0}\) 处的导数值:

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} \Big | _ {P _ {0}} = - \left(\frac {\partial (F , G)}{\partial (z , y)} / \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)}\right) _ {P _ {0}} = - \frac {0}{4} = 0, \\ \frac {\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} \Big | _ {P _ {0}} = - \left(\frac {\partial (F , G)}{\partial (x , z)} / \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)}\right) _ {P _ {0}} = - \frac {(- 8)}{4} = 2; \end{array} \right. \]

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\mathrm{d} z}{\mathrm{d} y} \Big | _ {P _ {0}} = - \left(\frac {\partial (F , G)}{\partial (y , x)} / \frac {\partial (F , G)}{\partial (z , x)}\right) _ {P _ {0}} = \frac {4}{8} = \frac {1}{2}, \\ \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} \Big | _ {P _ {0}} = - \left(\frac {\partial (F , G)}{\partial (z , y)} / \frac {\partial (F , G)}{\partial (z , x)}\right) _ {P _ {0}} = \frac {0}{8} = 0. \end{array} \right. \]

例 (2)

设函数 \(f(x,y),g(x,y)\) 具有连续的偏导数， \(u = u(x,y)\) 与 \(v = v(x,y)\) 是由方程组

\[ u = f (u x, v + y), \quad g \left(u - x, v ^ {2} y\right) = 0 \]

所确定的隐函数组。试求 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}\) .

解 设 \(F = u - f(ux, v + y)\) , \(G = g(u - x, v^{2}y)\) , 有

\[ \left[ \begin{array}{c c c c} F _ {x} & F _ {y} & F _ {u} & F _ {v} \\ G _ {x} & G _ {y} & G _ {u} & G _ {v} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} - u f _ {1} & - f _ {2} & 1 - x f _ {1} & - f _ {2} \\ - g _ {1} & v ^ {2} g _ {2} & g _ {1} & 2 v y g _ {2} \end{array} \right]. \]

由此计算所需之雅可比行列式:

\[ \begin{array}{l} J _ {u v} = \left| \begin{array}{c c} 1 - x f _ {1} & - f _ {2} \\ g _ {1} & 2 v y g _ {2} \end{array} \right| = 2 v y g _ {2} - 2 x y v f _ {1} g _ {2} + f _ {2} g _ {1}, \\ J _ {x v} = \left| \begin{array}{c c} - u f _ {1} & - f _ {2} \\ - g _ {1} & 2 v y g _ {2} \end{array} \right| = - 2 y u v f _ {1} g _ {2} - f _ {2} g _ {1}, \\ J _ {u y} = \left| \begin{array}{c c} 1 - x f _ {1} & - f _ {2} \\ g _ {1} & v ^ {2} g _ {2} \end{array} \right| = v ^ {2} g _ {2} - x v ^ {2} f _ {1} g _ {2} + f _ {2} g _ {1}. \\ \end{array} \]

于是求得

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial u}{\partial x} = - \frac {J _ {x v}}{J _ {u v}} = \frac {2 y u v f _ {1} g _ {2} + f _ {2} g _ {1}}{2 y v g _ {2} - 2 x y v f _ {1} g _ {2} + f _ {2} g _ {1}} \\ \frac {\partial v}{\partial y} = - \frac {J _ {u y}}{J _ {u v}} = \frac {x v ^ {2} f _ {1} g _ {2} - f _ {2} g _ {1} - v ^ {2} g _ {2}}{2 y v g _ {2} - 2 x y v f _ {1} g _ {2} + f _ {2} g _ {1}} \\ \end{array} \]

注 计算隐函数组的偏导数（或导数）比较繁琐，要学懂前两例所演示的方法（利用雅可比矩阵和雅可比行列式），掌握其中的规律。这里特别需要

精心 + 细心 + 耐心

反函数与坐标变换

设有一函数组

\[ u = u (x, y), v = v (x, y), \quad (x, y) \in B (\subset \mathbb {R} ^ {2}), \tag {6} \]

它确定了一个映射（或变换）：

\[ T: B \to \mathbb {R} ^ {2}, \]

\[ P (x, y) \mapsto Q (u, v). \]

写成点函数形式，即为 \(Q = T(P)\) , \(P \in B\) ; 并记 B 的象集为 \(B' = T(B)\) .

现在的问题是：函数组 (6) 满足何种条件时，\(T\) 存在逆变换 \(T^{-1}\) ?

即存在

\[ T ^ {- 1}: B ^ {\prime} \to B \]

\[ Q (u, v) \mapsto P (x, y) \]

(或 \(P = T^{-1}(Q), Q \in B'\))，亦即存在一个函数组

\[ x = x (u, v), y = y (u, v), (u, v) \in B ^ {\prime}, \tag {7} \]

使得满足

\[ u \equiv u (x (u, v), y (u, v)), v \equiv v (x (u, v), y (u, v)). \]

这样的函数组 (7) 称为函数组 (6) 的反函数组.

它的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.

为此，首先把方程组 (6) 改写为

\[ \left\{ \begin{array}{l} F (x, y, u, v) = u - u (x, y) = 0, \\ G (x, y, u, v) = v - v (x, y) = 0. \end{array} \right. \tag {8} \]

然后将定理 18.4 应用于 (8)，即得下述定理.

定理 (18.5 反函数组定理)

设 (6) 中函数在某区域 \(D \subset \mathbb{R}^2\) 上具有连续的一阶偏导数，\(P_0(x_0, y_0)\) 是 \(D\) 的内点，且

\[ u _ {0} = u \left(x _ {0}, y _ {0}\right), v _ {0} = v \left(x _ {0}, y _ {0}\right), \left. \frac {\partial (u , v)}{\partial (x , y)} \right| _ {P _ {0}} \neq 0. \]

则在点 \(P_0'(u_0, v_0)\) 的某邻域 \(U(P_0')\) 内，存在惟一的一组反函数 (7)，使得 \(x_0 = x(u_0, v_0), y_0 = y(u_0, v_0)\) ;

且当 \((u,v)\in U(P_0^{\prime})\) 时，有 \((x(u,v),y(u,v))\in U(P_0)\) 以及 \(u\equiv u(x(u,v),y(u,v)),v\equiv v(x(u,v),y(u,v)).\)

此外，反函数组 (7)

\[ x = x (u, v), y = y (u, v) \]

在 \(U(P_0')\) 内存在连续的一阶偏导数；若记

\[ J _ {x y} = \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)} = \frac {\partial (u , v)}{\partial (x , y)}, \]

则有

\[ \frac {\partial x}{\partial u} = - \frac {\partial (F , G)}{\partial (u , y)} / \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)} \]

\[ = - \frac {1}{J _ {x y}} \left| \begin{array}{c c} 1 & - u _ {y} \\ 0 & - v _ {y} \end{array} \right| = \frac {v _ {y}}{J _ {x y}}, \tag {9} \]

同理又有

\[ \frac {\partial x}{\partial v} = - \frac {u _ {y}}{J _ {x y}}, \quad \frac {\partial y}{\partial u} = - \frac {v _ {x}}{J _ {x y}}, \quad \frac {\partial y}{\partial v} = \frac {u _ {x}}{J _ {x y}}. \tag {9} \]

这里 \(J_{xy} = \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)},\)

由 (9) 式进一步看到:

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} = \frac {1}{J _ {x y} ^ {2}} \left| \begin{array}{c c} v _ {y} & - u _ {y} \\ - v _ {x} & u _ {x} \end{array} \right| \\ = \frac {u _ {x} v _ {y} - u _ {y} v _ {x}}{J _ {x y} ^ {2}} = \frac {J _ {x y}}{J _ {x y} ^ {2}} = 1 / \frac {\partial (u , v)}{\partial (x , y)}. \\ \end{array} \]

此式表示：互为反函数组的 (6) 与 (7), 它们的雅可比行列式互为倒数，这和以前熟知的反函数求导公式相类似.

于是可把一元函数的导数和函数组 (6) 的雅可比行列式看作对应物.

\[ \frac {\partial x}{\partial u} = \frac {v _ {y}}{J _ {x y}}, \quad \frac {\partial x}{\partial v} = - \frac {u _ {y}}{J _ {x y}}, \quad \frac {\partial y}{\partial u} = - \frac {v _ {x}}{J _ {x y}}, \quad \frac {\partial y}{\partial v} = \frac {u _ {x}}{J _ {x y}} \]

例 (3)

平面上点的直角坐标 \((x,y)\) 与极坐标 \((r,\theta)\) 之间的坐标变换为

\[ T: x = r \cos \theta , y = r \sin \theta . \]

试讨论它的逆变换.

解 由于

\[ \frac {\partial (x , y)}{\partial (r , \theta)} = \left| \begin{array}{c c} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| = r, \]

因此除原点 \((r=0)\) 外，在其余一切点处，T 存在逆变换 \(T^{-1}\) :

\[ T ^ {- 1}: \quad r = \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}, \quad \theta = \left\{ \begin{array}{c c} \arctan \frac {y}{x}, & x > 0, \\ \pi + \arctan \frac {y}{x}, & x < 0, \end{array} \right. \]

\[ \text {或} \theta = \left\{ \begin{array}{l l} \operatorname{arccot} \frac {x}{y}, & y > 0, \\ \pi + \operatorname{arccot} \frac {x}{y}, & y < 0. \end{array} \right. \]

定理 18.5 同样适用于二元函数组

\[ x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w) \]

例 4 空间直角坐标 \((x, y, z)\) 与球坐标 \((\rho, \varphi, \theta)\) 之间的坐标变换为（见图 18-5）

\[ T: \left\{ \begin{array}{l l} x = \rho \sin \varphi \cos \theta , \\ y = \rho \sin \varphi \sin \theta , \\ z = \rho \cos \varphi . \end{array} \right. \]

由于

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial (x , y , z)}{\partial (\rho , \varphi , \theta)} = \left| \begin{array}{c c c} \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & - \rho \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0 \end{array} \right| \\ = \rho^ {2} \sin \varphi , \\ \end{array} \]

因此在 \(\rho^2\sin \varphi \neq 0\) （即除去 \(Oz\) 轴上的一切点）时， \(T\) 存在逆变换 \(T^{-1}\) ：

\[ \rho = \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}, \varphi = \arccos \frac {z}{\rho}, \theta = \arctan \frac {y}{x}. \]

例 (5)

设有一微分方程（弦振动方程）：

\[ a ^ {2} \frac {\partial^ {2} \varphi}{\partial x ^ {2}} = \frac {\partial^ {2} \varphi}{\partial t ^ {2}} (a > 0) \]

其中 \(\varphi(x, t)\) 具有二阶连续偏导数。试问此方程在坐标变换 \(T: u = x + at, v = x - at\) 之下，将变成何种形式？

解 据题意，是要把方程 (10) 变换成以 \(u, v\) 作为自变量的形式。现在按此目标计算如下：首先有

\[ u _ {x} = v _ {x} = 1, u _ {t} = - v _ {t} = a, \frac {\partial (u , v)}{\partial (x , t)} = - 2 a \neq 0, \]

故 \(T\) 的逆变换存在，而且又有

\[ \mathrm{d} u = u _ {x} \mathrm{d} x + u _ {t} \mathrm{d} t = \mathrm{d} x + a \mathrm{d} t, \quad \mathrm{d} v = \mathrm{d} x - a \mathrm{d} t. \]

依据一阶微分形式不变性，得到

\[ \mathrm{d} \varphi = \varphi_ {u} \mathrm{d} u + \varphi_ {v} \mathrm{d} v = (\varphi_ {u} + \varphi_ {v}) \mathrm{d} x + a (\varphi_ {u} - \varphi_ {v}) \mathrm{d} t, \]

并由此推知

\[ \varphi_ {x} = \varphi_ {u} + \varphi_ {v}, \varphi_ {t} = a (\varphi_ {u} - \varphi_ {v}). \]

继续求以 u, v 为自变量的 \(\varphi_{xx}\) 与 \(\varphi_{tt}\) 的表达式:

\[ \begin{array}{l} \varphi_ {x x} = \frac {\partial}{\partial u} \left(\varphi_ {u} + \varphi_ {v}\right) u _ {x} + \frac {\partial}{\partial v} \left(\varphi_ {u} + \varphi_ {v}\right) v _ {x} \\ = \varphi_ {u u} + \varphi_ {v u} + \varphi_ {u v} + \varphi_ {v v} = \varphi_ {u u} + 2 \varphi_ {u v} + \varphi_ {v v}, \\ \varphi_ {t t} = a \frac {\partial}{\partial u} \left(\varphi_ {u} - \varphi_ {v}\right) u _ {t} + a \frac {\partial}{\partial v} \left(\varphi_ {u} - \varphi_ {v}\right) v _ {t} \\ = a ^ {2} \left(\varphi_ {u u} - 2 \varphi_ {u v} + \varphi_ {v v}\right). \\ \end{array} \]

最后得到以 u, v 为自变量的微分方程为

\[ a ^ {2} \varphi_ {x x} - \varphi_ {t t} = 4 a ^ {2} \varphi_ {u v} = 0, \text {即} {\frac {\partial^ {2} \varphi}{\partial u \partial v}} = 0. \]

复习思考题

1. 验证：定理 18.4 的结论 \(3^{\circ}\) 可以写成

\[ \left[ \begin{array}{l l} u _ {x} & u _ {y} \\ v _ {x} & v _ {y} \end{array} \right] = - \left[ \begin{array}{l l} F _ {u} & F _ {v} \\ G _ {u} & G _ {v} \end{array} \right] ^ {- 1} \cdot \left[ \begin{array}{l l} F _ {x} & F _ {y} \\ G _ {x} & G _ {y} \end{array} \right]. \]

1. 验证：由定理 18.5 的 (9) 式 (教材中为 (13) 式) 可推得 \(\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 1, \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = 1.\)

作业

P. 163

§3 几何应用

在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们的方程是以隐函数 (组) 的形式出现的，因此在求它们的切线或切平面时，都要用到隐函数 (组) 的微分法.

平面曲线的切线与法线

曲线 \(L: F(x, y) = 0\) ; 条件: \(P_0(x_0, y_0)\) 为 \(L\) 上一点，在 \(P_0\) 近旁，\(F\) 满足隐函数定理条件，可确定可微的隐函数:

\[ y = y (x) \quad (\text {或} x = x (y)); \]

由于 \(y' = -F_{x}(P_{0}) / F_{y}(P_{0})\) ，L 在 \(P_{0}\) 处的切线方程为：

\[ \boxed {y - y _ {0} = - \left[ F _ {x} \left(P _ {0}\right) / F _ {y} \left(P _ {0}\right) \right] \left(x - x _ {0}\right)} \]

(或 \(x - x_{0} = -\left[F_{y}(P_{0})/F_{x}(P_{0})\right](y - y_{0})\)).

总之，当 \((F_{x}(P_{0}), F_{y}(P_{0})) \neq (0, 0)\) 时，

法向量: \(\vec{n}=(F_{x}(P_{0}),F_{y}(P_{0}))\) ;

切线方程为

\[ F _ {x} \left(P _ {0}\right) (x - x _ {0}) + F _ {y} \left(P _ {0}\right) (y - y _ {0}) = 0 \tag {1} \]

法线方程为

\[ F _ {y} \left(P _ {0}\right) \left(x - x _ {0}\right) - F _ {x} \left(P _ {0}\right) \left(y - y _ {0}\right) = 0 \tag {2} \]

例 (1)

求笛卡儿叶形线

\[ 2 \left(x ^ {3} + y ^ {3}\right) - 9 x y = 0 \]

在点 \(P_{0}(2,1)\) 处的切线与法线.

解 设 \(F(x,y)=2\left(x^{3}+y^{3}\right)-9xy\) . 由于 \(F_{x}=6x^{2}-9y, F_{y}=6y^{2}-9x\) 连续，且

\[ \left(F _ {x} \left(P _ {0}\right), F _ {y} \left(P _ {0}\right)\right) = (1 5, - 1 2) \neq (0, 0), \]

于是在 \(P_{0}(2,1)\) 处 切线与法线分别为 \(15(x-2)-12(y-1)=0\) ，即 5x-4y-6=0； \(12(x-2)+15(y-1)=0\) ，即 \(4x+5y-13=0\) 。

例 (2)

设一般二次曲线为

\[ L: A x ^ {2} + 2 B x y + C y ^ {2} + 2 D x + 2 E y + F = 0, \]

\[ P _ {0} \left(x _ {0}, y _ {0}\right) \in L. \]

试证 L 在点 \(P_{0}\) 处的切线方程为

\[ A x _ {0} x + B \left(y _ {0} x + x _ {0} y\right) + C y _ {0} y + D \left(x + x _ {0}\right) + E \left(y + y _ {0}\right) + F = 0. \]

证 令 \(G(x,y) = Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F\) ，则有 \(\left\{ \begin{array}{l} G_{x}(P_{0}) = 2Ax_{0} + 2By_{0} + 2D, \\ G_{y}(P_{0}) = 2Bx_{0} + 2Cy_{0} + 2E. \end{array} \right.\)

由此得到所求切线为

\[ \left(A x _ {0} + B y _ {0} + D\right) \left(x - x _ {0}\right) + \left(B x _ {0} + C y _ {0} + E\right) \left(y - y _ {0}\right) = 0, \]

利用 \((x_0, y_0)\) 满足曲线 \(L\) 的方程，即

\[ F = - \left(A x _ {0} ^ {2} + 2 B x _ {0} y _ {0} + C y _ {0} ^ {2} + 2 D x _ {0} + 2 E y _ {0}\right), \]

整理后便得到

\[ A x _ {0} x + B \left(y _ {0} x + x _ {0} y\right) + C y _ {0} y + D \left(x + x _ {0}\right) + E \left(y + y _ {0}\right) + F = 0. \]

空间曲线的切线与法平面

先从参数方程表示的曲线开始讨论.

在第五章（导数与微分）§3 已学过，

1) 平面曲线

\[ x = x (t), y = y (t), \quad \alpha \leq t \leq \beta , \]

若 \(P_{0}(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))\) 是其上一点，则曲线在点 \(P_{0}\) 处的切线为

\[ y - y _ {0} = \frac {y ^ {\prime} (t _ {0})}{x ^ {\prime} (t _ {0})} (x - x _ {0}), \text {或} \frac {x - x _ {0}}{x ^ {\prime} (t _ {0})} = \frac {y - y _ {0}}{y ^ {\prime} (t _ {0})}. \]

2) 空间曲线.

(A) 用参数方程表示的空间曲线:

\[ L: x = x (t), y = y (t), z = z (t), \quad \alpha \leq t \leq \beta . \]

若 \(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))\in L,\) 且有

\[ x ^ {\prime 2} \left(t _ {0}\right) + y ^ {\prime 2} \left(t _ {0}\right) + z ^ {\prime 2} \left(t _ {0}\right) \neq 0 \]

类似于平面曲线的情形，不难求得 \(P_{0}\) 处的切线为

\[ \tau : \boxed {\frac {x - x _ {0}}{x ^ {\prime} (t _ {0})} = \frac {y - y _ {0}}{y ^ {\prime} (t _ {0})} = \frac {z - z _ {0}}{z ^ {\prime} (t _ {0})}}. \tag {3} \]

过点 \(P_{0}\) 且垂直于切线 \(\tau\) 的平面 \(\Pi\) ，称为曲线 L 在点 \(P_{0}\) 处的法平面. 因为切线 \(\tau\) 的方向向量即为法平面 \(\Pi\) 的法向量，所以法平面的方程为

\[ \boxed {x ^ {\prime} \left(t _ {0}\right) \left(x - x _ {0}\right) + y ^ {\prime} \left(t _ {0}\right) \left(y - y _ {0}\right) + z ^ {\prime} \left(t _ {0}\right) \left(z - z _ {0}\right) = 0.} \]

(4)

(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线:

\[ L: \left\{ \begin{array}{l} F (x, y, z) = 0, \\ G (x, y, z) = 0. \end{array} \right. \tag {5} \]

设 \(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\in L;F,G\) 在点 \(P_{0}\) 近旁具有连续的一阶偏导数，且

\[ \left. \left(J _ {x y}, J _ {y z}, J _ {z x}\right) \right| _ {P _ {0}} \neq (0, 0, 0) \]

其中 \(J_{xy} = \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}, J_{yz} = \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}, J_{zx} = \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}.\)

不妨设 \(J_{xy}(P_{0}) \neq 0\) ，于是存在隐函数组

\[ x = x (z), \quad y = y (z), \quad z = z. \]

这也就是曲线 \(L\) 以 \(z\) 作为参数的一个参数方程。根据公式 (3), 所求切线方程为

\[ \tau : \frac {x - x _ {0}}{x ^ {\prime} (z _ {0})} = \frac {y - y _ {0}}{y ^ {\prime} (z _ {0})} = \frac {z - z _ {0}}{1} \]

应用隐函数组求导公式，有

\[ x ^ {\prime} \left(z _ {0}\right) = - J _ {z y} \left(P _ {0}\right) / J _ {x y} \left(P _ {0}\right), \]

\[ y ^ {\prime} (z _ {0}) = - J _ {x z} (P _ {0}) / J _ {x y} (P _ {0}). \]

于是最后求得切线方程为

\[ \boxed {\tau : \frac {x - x _ {0}}{J _ {y z} (P _ {0})} = \frac {y - y _ {0}}{J _ {z x} (P _ {0})} = \frac {z - z _ {0}}{J _ {x y} (P _ {0})}.} \tag {6} \]

相应于 (3) 式的法平面方程则为

\[ \Pi : \boxed {J _ {y z} \left(P _ {0}\right) \left(x - x _ {0}\right) + J _ {z x} \left(P _ {0}\right) \left(y - y _ {0}\right) + J _ {x y} \left(P _ {0}\right) \left(z - z _ {0}\right) = 0}. \tag {7} \]

例 (3)

求空间曲线

\[ L: x = t - \sin t, y = 1 - \cos t, z = 4 \sin (t / 2) \]

在点 \(P_{0}\) （对应于 \(t_{0} = \pi/2\) ）处的切线和法平面.

解 容易求得 \(P_{0}\left(\frac{\pi}{2} - 1, 1, 2\sqrt{2}\right)\) , 故切向向量为

\[ \begin{array}{l} \vec {\tau} = \left(x ^ {\prime} (t _ {0}), y ^ {\prime} (t _ {0}), z ^ {\prime} (t _ {0})\right) \\ = (1 - \cos t _ {0}, \sin t _ {0}, 2 \cos (t _ {0} / 2)) \\ = (1, 1, \sqrt {2}). \\ \end{array} \]

由此得到切线方程和法平面方程分别为

\[ \tau : x - \frac {\pi}{2} + 1 = y - 1 = \frac {z - 2 \sqrt {2}}{\sqrt {2}} \]

\(\Pi : (x - \frac{\pi}{2} + 1) + (y - 1) + \sqrt{2}(z - 2\sqrt{2}) = 0,\) 即 \(x + y + \sqrt{2} z = \frac{\pi}{2} + 4.\)

绘制上述空间曲线的程序与所得图形：

\[ \begin{array}{l} \text { syms } t; x = t - \sin (t); y = 1 - \cos (t); \\ z = 4 ^ {*} \sin (t / 2); \\ \operatorname{ezplot3} (x, y, z, \left[ - 2 ^ {*} p i, 2 ^ {*} p i \right]) \\ \end{array} \]

例 (4)

求曲线

\[ L: x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 5 0, \quad x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \]

在点 \(P_{0}(3,4,5)\) 处的切线与法平面.

解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线。令

\[ F (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - 5 0, \]

\[ G (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} - z ^ {2}. \]

根据公式 (6) 与 (7), 需先求出切向向量。为此计算 \(F, G\) 在点 \(P_{0}\) 处的雅可比矩阵:

\[ \left[ \begin{array}{c c c} F _ {x} & F _ {y} & F _ {z} \\ G _ {x} & G _ {y} & G _ {z} \end{array} \right] _ {P _ {0}} = 2 \left[ \begin{array}{c c c} x & y & z \\ x & y & - z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} 6 & 8 & 1 0 \\ 6 & 8 & - 1 0 \end{array} \right] \]

由此得到所需的雅可比行列式:

\[ \begin{array}{l} J _ {x y} \left(P _ {0}\right) = \left| \begin{array}{c c} 6 & 8 \\ 6 & 8 \end{array} \right| = 0 \\ J _ {y z} \left(P _ {0}\right) = \left| \begin{array}{c c} 8 & 1 0 \\ 8 & - 1 0 \end{array} \right| = - 1 6 0 \\ J _ {z x} \left(P _ {0}\right) = \left| \begin{array}{c c} 1 0 & 6 \\ - 1 0 & 6 \end{array} \right| = 1 2 0 \\ \end{array} \]

故切向向量为

\[ \vec {\tau} = (- 1 6 0, 1 2 0, 0) / / (- 4, 3, 0) \]

据此求得切线： \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x - 3}{-4} = \frac{y - 4}{3}, \\ z - 5 = 0, \end{array} \right.\) 即 \(\left\{ \begin{array}{c} 3x + 4y - 25 = 0 \\ z = 5 \end{array} \right.\)

法平面: \(-4(x-3)+3(y-4)+0\cdot(z-5)=0\) , 即 \(-4x+3y=0\) (平行于 z 轴).

曲面的切平面与法线

以前知道，当 f 为可微函数时，曲面 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) 处的切平面为

\[ z - z _ {0} = f _ {x} \left(P _ {0}\right) \left(x - x _ {0}\right) + f _ {y} \left(P _ {0}\right) \left(y - y _ {0}\right). \]

现在的新问题是：曲面 S 由方程

\[ F (x, y, z) = 0 \tag {8} \]

给出。若点 \(P_0(x_0, y_0, z_0) \in S, F(x, y, z)\) 在 \(P_0\) 近旁具有连续的一阶偏导数，而且

\[ \left(F _ {x} \left(P _ {0}\right), F _ {y} \left(P _ {0}\right), F _ {z} \left(P _ {0}\right)\right) \neq (0, 0, 0) \tag {9} \]

不妨设 \(F_{z}(P_{0}) \neq 0\) ，则由方程 (8) 在点 \(P_{0}\) 近旁惟一地确定了连续可微的隐函数 \(z = f(x, y)\) . 因为

\[ f _ {x} (P _ {0}) = - \frac {F _ {x} (P _ {0})}{F _ {z} (P _ {0})}, f _ {y} (P _ {0}) = - \frac {F _ {y} (P _ {0})}{F _ {z} (P _ {0})}, \]

所以 \(S\) 在 \(P_0\) 处的切平面为

\[ \boxed {z - z _ {0} = - \frac {F _ {x} (P _ {0})}{F _ {z} (P _ {0})} (x - x _ {0}) - \frac {F _ {y} (P _ {0})}{F _ {z} (P _ {0})} (y - y _ {0}).} \]

又因 (9) 式中非零元素的不指定性，故切平面方程一般应写成

\[ F _ {x} \left(P _ {0}\right) (x - x _ {0}) + F _ {y} \left(P _ {0}\right) (y - y _ {0}) + F _ {z} \left(P _ {0}\right) (z - z _ {0}) = 0 \tag {10} \]

随之又得到所求的法线方程为

\[ \boxed {\frac {x - x _ {0}}{F _ {x} (P _ {0})} = \frac {y - y _ {0}}{F _ {y} (P _ {0})} = \frac {z - z _ {0}}{F _ {z} (P _ {0})}.} \tag {11} \]

回顾 1 现在知道，函数 \(F(x,y,z)\) 在点 \(P\) 的梯度 \(\operatorname{grad} F(P) = F_x(P)\vec{i} + F_y(P)\vec{j} + F_z(P)\vec{k}\) ，其实就是等值面 \(F(x,y,z) = c\) 在点 \(P\) 的法向量：

\[ \vec {n} = (F _ {x} (P), F _ {y} (P), F _ {z} (P)). \]

回顾 2 若把由 (5) 表示的空间曲线 L 看作两曲面 \(F(x,y,z)=0\) 和 \(G(x,y,z)=0\) 的交线 (图 18-9)，则 L 在 \(P_{0}\) 的切线与此二曲面在 \(P_{0}\) 的法线都相垂直．而这两条法线的方向向量分别是

\[ \begin{array}{l} \vec {n} _ {1} = (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}) | _ {P _ {0}}, \\ \vec {n} _ {2} = (G _ {x}, G _ {y}, G _ {z}) | _ {P _ {0}}, \\ \end{array} \]

故曲线 (4) 的切向量可取 \(\vec{n}_{1}\) 与 \(\vec{n}_{2}\) 的向量积:

\[ \begin{array}{l} \vec {\tau} = \vec {n} _ {1} \times \vec {n} _ {2} = \left| \begin{array}{c c c} \vec {i} & \vec {j} & \vec {k} \\ F _ {x} (P _ {0}) & F _ {y} (P _ {0}) & F _ {z} (P _ {0}) \\ G _ {x} (P _ {0}) & G _ {y} (P _ {0}) & G _ {z} (P _ {0}) \end{array} \right| \\ = \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (y , z)} \right| _ {P _ {0}} \vec {i} + \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (z , x)} \right| _ {P _ {0}} \vec {j} + \left. \frac {\partial (F , G)}{\partial (x , y)} \right| _ {P _ {0}} \vec {k}. \\ \end{array} \]

这比前面导出 (6), (7) 两式的过程更为直观，也容易记得住.

\[ \vec {n} _ {1} = (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}) | _ {P _ {0}}, \]

\[ \vec {n} _ {2} = (G _ {x}, G _ {y}, G _ {z}) | _ {P _ {0}}, \]

例 (5)

求旋转抛物面 \(x^{2} + y^{2} = 4z\) 在点 \(P_0(2, - 4,5)\) 处的切平面和法线

解 令 \(F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-4z\) ，则曲面的法向量为

\[ \begin{array}{l} \vec {n} = (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}) | _ {P _ {0}} = (2 x, 2 y, - 4) | _ {(2, - 4, 5)} \\ = (4, - 8, - 4) / / (1, - 2, - 1). \\ \end{array} \]

从而由 (9), (10) 分别得到切平面为

\[ 1 \cdot (x - 2) - 2 \cdot (y + 4) - 1 \cdot (z - 5) = 0, \]

即 \(x - 2y - z = 5\) ；法线为

\[ {\frac {x - 2}{1}} = {\frac {y + 4}{- 2}} = {\frac {z - 5}{- 1}}. \]

例 (6)

证明：曲面 \(f\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right) = 0\) 的任一切平面都过某个定点 (这里 \(f\) 是连续可微函数).

证 令 \(F(x,y,z) = f\left(\frac{x - a}{z - c},\frac{y - b}{z - c}\right)\) ，则有

\[ (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z}) = \left(\frac {f _ {1}}{z - c}, \frac {f _ {2}}{z - c}, - \frac {(x - a) f _ {1} + (y - b) f _ {2}}{(z - c) ^ {2}}\right). \]

于是曲面在其上任一点 \(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\) 处的法向量可取为

\[ \left(f _ {1} \left(P _ {0}\right), f _ {2} \left(P _ {0}\right), - \frac {\left(x _ {0} - a\right) f _ {1} \left(P _ {0}\right) + \left(y _ {0} - b\right) f _ {2} \left(P _ {0}\right)}{z _ {0} - c}\right). \]

由此得到切平面方程:

\[ \begin{array}{l} f _ {1} \left(P _ {0}\right) \left(x - x _ {0}\right) + f _ {2} \left(P _ {0}\right) \left(y - y _ {0}\right) \\ - \frac {(x _ {0} - a) f _ {1} (P _ {0}) + (y _ {0} - b) f _ {2} (P _ {0})}{z _ {0} - c} (z - z _ {0}) = 0. \\ \end{array} \]

将点 \((x,y,z)=(a,b,c)\) 代入上式，得一恒等式:

\[ \begin{array}{l} f _ {1} \left(P _ {0}\right) (a - x _ {0}) + f _ {2} \left(P _ {0}\right) (b - y _ {0}) \\ - \frac {(x _ {0} - a) f _ {1} (P _ {0}) + (y _ {0} - b) f _ {2} (P _ {0})}{(z _ {0} - c)} (c - z _ {0}) \equiv 0, \\ \end{array} \]

这说明点 \((a,b,c)\) 恒在任一切平面上.

用参数方程表示的曲面

曲面也可以用如下双参数方程来表示:

\[ S: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v). \tag {12} \]

这种曲面可看作由一族曲线所构成：每给定 \(v\) 的一个值，(12) 就表示一条以 \(u\) 为参数的曲线；当 \(v\) 取某个区间上的一切值时，这许多曲线的集合构成了一个曲面.

这种曲面的切平面和法线的方程是什么？

为此假设 \((u_0, v_0)\) 所对应的点 \(P_0(x_0, y_0, z_0) \in S\) , 且 (12) 式中三个函数在 \(P_0\) 近旁都存在连续的一阶偏导数.

因为 \(S\) 在 \(P_0\) 处的法线必垂直于 \(S\) 上过 \(P_0\) 的任意两条曲线在 \(P_0\) 的切线，所以只需在 \(S\) 上取两条特殊的曲线（见图 18-10）：

\[ x = x (u, v _ {0}), y = y (u, v _ {0}), z = z (u, v _ {0}) \]

和 \(x = x(u_{0}, v)\) , \(y = y(u_{0}, v)\) , \(z = z(u_{0}, v)\) ，它们的切向量分别为

\[ \vec {\tau} _ {1} = (x _ {u}, y _ {u}, z _ {u}) | _ {(u _ {0}, v _ {0})}, \quad \vec {\tau} _ {2} = (x _ {v}, y _ {v}, z _ {v}) | _ {(u _ {0}, v _ {0})}, \]

则所求的法向量为

\[ \vec {n} = \vec {\tau_ {1}} \times \vec {\tau_ {2}} = \left. \left(\frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)}\right) \right| _ {(u _ {0}, v _ {0})} \]

至此，不难写出切平面方程和法线方程分别为

\[ \left| \begin{array}{c c c} x - x _ {0} & y - y _ {0} & z - z _ {0} \\ x _ {u} (u _ {0}, v _ {0}) & y _ {u} (u _ {0}, v _ {0}) & z _ {u} (u _ {0}, v _ {0}) \\ x _ {v} (u _ {0}, v _ {0}) & y _ {v} (u _ {0}, v _ {0}) & z _ {v} (u _ {0}, v _ {0}) \end{array} \right| = 0, \]

\[ \frac {x - x _ {0}}{\left. \frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)} \right| _ {(u _ {0} , v _ {0})}} = \frac {y - y _ {0}}{\left. \frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)} \right| _ {(u _ {0} , v _ {0})}} = \frac {z - z _ {0}}{\left. \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \right| _ {(u _ {0} , v _ {0})}}. \]

例 (7)

设曲面的参数方程为

\[ x = u + v, \quad y = u ^ {2} + v ^ {2}, \quad z = u ^ {3} + v ^ {3}. \]

试对此曲面的切平面作出讨论.

解 先计算在点 \(P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 处的法向量:

\[ \begin{array}{l} \vec {n} = \left| \begin{array}{c c c} \vec {i} & \vec {j} & \vec {k} \\ x _ {u} & y _ {u} & z _ {u} \\ x _ {v} & y _ {v} & z _ {v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c} \vec {i} & \vec {j} & \vec {k} \\ 1 & 2 u & 3 u ^ {2} \\ 1 & 2 v & 3 v ^ {2} \end{array} \right| \\ = 6 u v (v - u) \vec {i} + 3 (u + v) (u - v) \vec {j} + 2 (v - u) \vec {k} \\ \end{array} \]

由此看到，当 u = v 时 \(\vec{n} = (0, 0, 0)\) . 说明在曲面上存在着一条曲线，其方程为

\[ x = 2 u, y = 2 u ^ {2}, z = 2 u ^ {3}, \tag {14} \]

在此曲线上各点处，曲面不存在切平面，我们称这种曲线为该曲面上的一条奇线。而当 \(u \neq v\) 时，法向量可取 \(\vec{n}_1 = (6uv, -3(u + v), 2)\) . 与之对应的切平面则为

\[ 6 u v [ x - (u + v) ] - 3 (u + v) \left[ y - \left(u ^ {2} + v ^ {2}\right) \right] + 2 \left[ z - \left(u ^ {3} + v ^ {3}\right) \right] = 0 \]

法线则为

\[ \frac {x - (u + v)}{6 u v} = \frac {y - (u ^ {2} + v ^ {2})}{- 3 (u + v)} = \frac {z - (u ^ {3} + v ^ {3})}{2}. \]

当动点 \(P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 趋于 (13) 奇线上的点 \(P_{0}(x(u_{0},u_{0}),y(u_{0},u_{0}),z(u_{0},u_{0}))\) 时，法向量 \(\vec{n}_{1}\) 存在极限（一般不一定存在）：

\[ \lim _ {P \to P _ {0}} \vec {n} _ {1} = (6 u _ {0} ^ {2}, - 6 u _ {0}, 2) \neq (0, 0, 0). \]

此时切平面存在极限位置:

\[ 3 u _ {0} ^ {2} (x - 2 u _ {0}) - 3 u _ {0} (y - 2 u _ {0} ^ {2}) + (z - 2 u _ {0} ^ {3}) = 0, \]

有时需要用此 “极限切平面” 来补充定义奇线上的切平面.

注 曲面上的孤立奇点往往是曲面的尖点，如圆雉面 \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 = 0\) 的顶点 \(O(0, 0, 0)\) ，在此点处 \((F_x(O), F_y(O), F_z(O)) = (0, 0, 0)\) ，不存在法线和切平面.

而曲面上的奇线，则往往是该曲面的 “摺线”、“边界线” 或是曲面自身的 “交叉线”。

曲面及其奇线（边界线）的图像如下：

定义 (光滑曲面)

若 \(F(x,y,z)\) 存在连续的一阶偏导数，且满足 \((F_{x},F_{y},F_{z})\neq (0,0,0)\) ，则称曲面 \(F(x,y,z) = 0\) 为一光滑曲面。

对于用双参数方程 (12) 表示的曲面，应如何定义它为光滑曲面？请读者自行考虑.

复习思考题

作业

P. 169

1, 2, 3, 5

§4 条件极值

条件极值问题的特点是：极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制.

解决这类极值问题的方法叫做 拉格朗日乘数法.

条件极值问题的实际应用非常广泛，而且还能用来证明或建立不等式

问题引入

很多极值问题，目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化，而是要受到某些条件的约束.

例 (1)

要设计一个容积为 \(V\) 的长方形无盖水箱，试问长、宽、高各等于多少时，可使得表面积最小？若设长、宽、高各等于 \(x, y, z\) , 则

目标函数: \(S = 2z(x + y) + xy;\)

约束条件: xyz = V.

定义（极值（最值））

设目标函数为

\[ y = f (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}), (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}) \in D \subset \mathbb {R} ^ {n}; \]

约束条件为如下一组方程:

\[ \Phi : \varphi_ {k} (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}) = 0, k = 1, 2, \dots , m (m < n). \]

为简便起见，记 \(P = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\) , 并设

\[ \Omega = \{P \mid P \in D, \varphi_ {k} (P) = 0, k = 1, 2, \dots , m \}. \]

若存在 \(P_0 \in \Omega, \delta > 0\) , 使得

\[ f \left(P _ {0}\right) \leq f (P), \quad \forall P \in \Omega \cap U \left(P _ {0}; \delta\right) (\text {或} \forall P \in \Omega), \]

则称 \(f(P_0)\) 是 \(f(P)\) 在约束条件 \(\Phi\) 之下的极小值 (或最小值), 称 \(P_0\) 是相应的极小值点 (或最小值点).

类似地，可定义条件极大 (或最大) 值.

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法探源 先从 \(n = 2, m = 1\) 的最简情形说起，即设目标函数与约束条件分别为

\[ z = f (x, y) \quad \text {与} \quad \varphi (x, y) = 0. \tag {1} \]

若由 \(\varphi(x,y)=0\) 确定了隐函数 \(y=y(x)\) ，则使得目标函数成为一元函数 \(z=f(x,y(x))\) 。再由

\[ {\frac {\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}} = f _ {x} + f _ {y} \cdot {\frac {\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} = f _ {x} - f _ {y} \cdot {\frac {\varphi_ {x}}{\varphi_ {y}}} = 0 \]

求出稳定点 \(P_{0}(x_{0},y_{0})=(x_{0},y(x_{0}))\) ，在此点处满足

\[ \left. (f _ {x} \varphi_ {y} - f _ {y} \varphi_ {x}) \right| _ {P _ {0}} = 0 \]

\[ \left. \left(f _ {x} \varphi_ {y} - f _ {y} \varphi_ {x}\right) \right| _ {P _ {0}} = 0, \quad \text {i.e.,} \quad \frac {f _ {x}}{f _ {y}} = \frac {\phi_ {x}}{\phi_ {y}} \]

而 f 的梯度为 \((f_{x}, f_{y})\) ， \(\phi\) 的梯度为 \((\phi_{x}, \phi_{y})\) ，所以 \((f_{x}, f_{y})\) 与 \((\phi_{x}, \phi_{y})\) 成比例。或者说，表示 f 的等值线

\[ f (x, y) = z _ {0} \]

与曲线 \(\varphi(x,y)=0\) 在点 \(P_{0}\) 有公共切线，见图.

由此推知：存在比例常数 \(\lambda_{0}\) ，满足 \((f_{x}(P_{0}), f_{y}(P_{0})) + \lambda_{0}(\varphi_{x}(P_{0}), \varphi_{y}(P_{0})) = (0, 0)\) .

这又表示：对于函数

\[ L (x, y, \lambda) = f (x, y) + \lambda \varphi (x, y), \]

在点 \((x_{0},y_{0},\lambda_{0})\) 处恰好满足:

\[ \left. \left(f _ {x} \varphi_ {y} - f _ {y} \varphi_ {x}\right) \right| _ {P _ {0}} = 0 \]

即

\[ \left\{ \begin{array}{l} L _ {x} = f _ {x} (x, y) + \lambda \varphi_ {x} (x, y) = 0, \\ L _ {y} = f _ {y} (x, y) + \lambda \varphi_ {y} (x, y) = 0, \\ L _ {\lambda} = \varphi (x, y) = 0. \end{array} \right. \tag {2} \]

也就是说，(2) 式是函数 \(L(x, y, \lambda)\) 在其极值点处所满足的必要条件.

由此产生了一个重要思想:

通过引入辅助函数 \(L(x,y,\lambda)\) , 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.

拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般目标函数和约束条件组，应引入辅助函数

\[ \begin{array}{l} L \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}, \lambda_ {1}, \lambda_ {2}, \dots , \lambda_ {m}\right) \\ = f \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}\right) + \sum_ {k = 1} ^ {m} \lambda_ {k} \varphi_ {k} \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}\right). \\ \end{array} \]

称此函数为拉格朗日函数，其中 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}\) 称为拉格朗日乘数.

定理 (18.6)

设上述条件极值问题中的函数 f 与 \(\varphi_{k} (k = 1, 2, \cdots, m)\) 在区域 D 上有连续一阶偏导数。若 D 的内点

\[ P _ {0} \left(x _ {1} ^ {(0)}, x _ {2} ^ {(0)}, \dots , x _ {n} ^ {(0)}\right) \]

是该条件极值问题的极值点，且

\[ \text { rank } \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial \varphi_ {1}}{\partial x _ {1}} & \dots & \frac {\partial \varphi_ {1}}{\partial x _ {n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac {\partial \varphi_ {m}}{\partial x _ {1}} & \dots & \frac {\partial \varphi_ {m}}{\partial x _ {n}} \end{array} \right] _ {P _ {0}} = m, \]

则存在 m 个常数 \(\lambda_{1}^{(0)}, \lambda_{2}^{(0)}, \cdots, \lambda_{m}^{(0)}\) ，使得

\[ \left(x _ {1} ^ {(0)}, x _ {2} ^ {(0)}, \dots , x _ {n} ^ {(0)}, \lambda_ {1} ^ {(0)}, \lambda_ {2} ^ {(0)}, \dots , \lambda_ {m} ^ {(0)}\right) \]

为拉格朗日函数 (3) 的稳定点，即它是如下 \(n + m\) 个方程的解:

\[ \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial L}{\partial x _ {i}} = \frac {\partial f}{\partial x _ {i}} + \sum_ {k = 1} ^ {m} \lambda_ {k} \frac {\partial \varphi_ {k}}{\partial x _ {i}} = 0, & i = 1, 2, \dots , n; \\ \frac {\partial L}{\partial \lambda_ {k}} = \varphi_ {k} (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {n}) = 0, & k = 1, 2, \dots , m. \end{array} \right. \]

注 对于 \(n = 2, m = 1\) 的情形，已在前面作了说明；对一般情形的证明，将放到二十三章的定理 23.19 中进行.

拉格朗日乘数法应用举例

例 (1)

求 \(S = 2(xz + yz) + xy\) 在约束条件 \(V = xyz\) 下的极值.

解 此例以往的解法是从条件式解出显函数，例如 \(z = \frac{V}{xy}\) , 代入目标函数后，转而求解

\[ S = \frac {2 V}{x y} (x + y) + x y \]

的普通极值问题.

无法将条件式作显化处理时，此法就无法进行了.

现在作拉格朗日函数

\[ L = 2 (x z + y z) + x y + \lambda (x y z - V), \]

并求解以下方程组:

\[ \left\{ \begin{array}{l} L _ {x} = 2 z + y + \lambda y z = 0 \\ L _ {y} = 2 z + x + \lambda x z = 0 \\ L _ {z} = 2 (x + y) + \lambda x y = 0, \\ L _ {\lambda} = x y z - V = 0. \end{array} \right. \]

为消去 \(\lambda\) ，将前三式分别乘以 x, y, z，则得

\[ \left\{ \begin{array}{l l} 2 x z + x y = - \lambda x y z \\ 2 y z + x y = - \lambda x y z \\ 2 z (x + y) = - \lambda x y z \end{array} \right. \]

两两相减后立即得出 \(x = y = 2z\) ，再代入第四式，得

\[ x = \sqrt [ 3 ]{2 V} = y, z = \sqrt [ 3 ]{2 V} / 2. \]

注 由以上结果还可以得到一个不等式 (这是获得不等式的一种好方法). 那就是具体算出目标函数 (表面积) 的最小值:

\[ S _ {\mathrm{min}} = 2 \cdot \frac {\sqrt [ 3 ]{2 V}}{2} (\sqrt [ 3 ]{2 V} + \sqrt [ 3 ]{2 V}) + (\sqrt [ 3 ]{2 V}) ^ {2} = 3 \sqrt [ 3 ]{4 V ^ {2}} \]

于是有 \(2z(x + y) + xy \geq 3\sqrt[3]{4V^2}\) , 其中 \(V = xyz\) . 消去 \(V\) 后便得不等式

\[ 2 z (x + y) + x y \geq 3 \sqrt [ 3 ]{4 (x y z) ^ {2}}, \quad x > 0, y > 0, z > 0 \]

例 (2)

抛物面 \(z = x^{2} + y^{2}\) 被平面 \(x + y + z = 1\) 截成一个椭圆。求该椭圆到原点的最长和最短距离.

解 这个问题的目标函数是 \(f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) 在条件 \(z = x^2 + y^2\) 及 \(x + y + z = 1\) 下的最值问题.

为了计算方便，把目标函数改取距离的平方 (这是等价的), 即设

\[ L = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + \lambda (x ^ {2} + y ^ {2} - z) + \mu (x + y + z - 1). \]

求解以下方程组:

\[ \left. \begin{array}{l} L _ {x} = 2 x + 2 \lambda x + \mu = 0, \\ L _ {y} = 2 y + 2 \lambda y + \mu = 0, \\ L _ {z} = 2 z - \lambda + \mu = 0, \\ L _ {\lambda} = x ^ {2} + y ^ {2} - z = 0, \\ L _ {\mu} = x + y + z - 1 = 0. \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r l} & 2 (x + \lambda x) \\ & = 2 (y + \lambda y) \\ & = 2 z - \lambda . \end{array} \right. \]

由此又得 \((1 + \lambda)(x - y) = 0 \Rightarrow x = y\) . 再代入条件式，继而得到: (这里 \(\lambda \neq -1\) , 否则将无解)

\[ 2 x ^ {2} + 2 x - 1 = 0 \]

\[ x = y = \frac {- 1 \pm \sqrt {3}}{2}, z = 1 - (- 1 \pm \sqrt {3}) = 2 \mp \sqrt {3} \]

这是拉格朗日函数的稳定点。由于所求问题存在最大值和最小值，所以

\[ \begin{array}{l} x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = \frac {2 (- 1 \pm \sqrt {3}) ^ {2}}{4} + (2 \mp \sqrt {3}) ^ {2} \\ = \left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{2} (1 - 2 \sqrt {3} + 3) + 4 - 4 \sqrt {3} + 3 = 9 - 5 \sqrt {3}, \\ \frac {1}{2} (1 + 2 \sqrt {3} + 3) + 4 + 4 \sqrt {3} + 3 = 9 + 5 \sqrt {3}. \end{array} \right. \\ \end{array} \]

故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分别为

\[ d _ {\mathrm{min}} = \sqrt {9 - 5 \sqrt {3}}, d _ {\mathrm{max}} = \sqrt {9 + 5 \sqrt {3}} \]

例 (3)

已知圆柱面

\[ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - x y - y z - z x - 1 = 0, \tag {4} \]

它与平面 \(x + y - z = 0\) 相交得一椭圆，试求此椭圆的面积.

分析

解 由以上分析，自原点至椭圆上任意点 \((x, y, z)\) 的距离 \(d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) 之最大、小值，就是该椭圆的长、短半轴.

(说明：本例的题型与例 2 相类似，但在具体计算策略上将有较大差异.)

设拉格朗日函数为

\[ \begin{array}{l} L = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + \lambda (x + y - z) \\ - \mu \left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - x y - y z - z x - 1\right) \\ \end{array} \]

并令

\[ \left\{ \begin{array}{l l} L _ {x} = 2 x + \lambda - \mu (2 x - y - z) = 0, & \text {(5)} \\ L _ {y} = 2 y + \lambda - \mu (2 y - z - x) = 0, & \text {(6)} \\ L _ {z} = 2 z - \lambda - \mu (2 z - x - y) = 0, & \text {(7)} \\ L _ {\lambda} = x + y - z = 0, & \text {(8)} \\ L _ {\mu} = - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - x y - y z - z x - 1) = 0. & \text {(9)} \end{array} \right. \]

对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 \(x, y, z\) 后相加，得到

\[ \begin{array}{l} 2 \left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}\right) + \lambda (x + y - z) \\ - 2 \mu \left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - x y - y z - z x\right) = 0, \\ \end{array} \]

借助 (8), (9) 两式进行化简，又得

\[ d ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = \mu . \]

这说明 \(d^{2}\) 的极值就是这里的 \(\mu\) (即 \(d\) 的极值就是 \(\sqrt{\mu}\)). 问题便转而去计算 \(\mu\) . 为此先从 (5)-(8) 式消去 \(\lambda\) , 得到一个线性方程组:

\[ \left\{ \begin{array}{l} (2 - \mu) x + 2 \mu y + (2 - \mu) z = 0 \\ 2 \mu x + (2 - \mu) y + (2 - \mu) z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{array} \right. \]

它有非零解 \((x, y, z)\) 的充要条件是

\[ \left| \begin{array}{c c c} 2 - \mu & 2 \mu & 2 - \mu \\ 2 \mu & 2 - \mu & 2 - \mu \\ 1 & 1 & - 1 \end{array} \right| = - 3 \mu^ {2} + 2 0 \mu - 1 2 = 0 \]

即

\[ \mu^ {2} - \frac {2 0}{3} \mu + 4 = 0. \tag {10} \]

由前面讨论知道，方程 (10) 的两个根 \(\mu_1, \mu_2\) 就是 \(d^2\) 的最大、小值，即 \(a^2\) 与 \(b^2\) ; 而 \(\mu_1 \mu_2 = 4\) , 于是

\[ S = \pi a b = \pi \sqrt {\mu_ {1} \mu_ {2}} = 2 \pi . \tag {0.1} \]

说明

(i) 一旦由方程 (5)-(9) 能直接求得椭圆的长、短半轴，那就不必再去计算椭圆的顶点坐标 \((x, y, z)\) 了，这使解题过程简单了许多.

(ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题，则需要先求出圆柱面的中心轴所在直线 \(l: x = y = z\) , 再求出纬圆半径 \(r = \sqrt{\frac{2}{3}}\) 和纬圆面积 \(A = \frac{2\pi}{3}\) ; 还有平面 \(x + y - z = 0\) 的法线与 \(l\) 夹角的余弦

\[ \cos \theta = \frac {(1 , 1 , 1) \cdot (1 , 1 , - 1)}{\sqrt {3} \cdot \sqrt {3}} = \frac {1}{3}. \]

然后根据面积投影关系 \(A = S \cos \theta\) ，最后求得椭圆面积为 \(S = \frac{A}{\cos \theta} = \frac{2\pi}{3} / \frac{1}{3} = 2\pi\) .

例 (4)

设光滑封闭曲线

\[ \Gamma : F (x, y) = 0. \]

证明: \(\Gamma\) 上任意两个相距最远点处的切线互相平行，且垂直于这两点间的连线.

证 由于 \(\Gamma\) 是光滑封闭曲线，所以满足:

设 \(P_0(x_0,y_0),Q_0(u_0,v_0)\) 为 \(\Gamma\) 上相距最远的两点。题目转化为：

求目标函数

\[ f (x, y, u, v) = (x - u) ^ {2} + (y - v) ^ {2} \]

在约束条件

\[ F (x, y) = 0, F (u, v) = 0 \]

之下的极大值 \(f(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0})\) .

于是由拉格朗日乘数法，存在 \(\lambda_{0}, \mu_{0}\) , 使点 \(M_{0}\) 成为拉格朗日函数

\[ L = (x - u) ^ {2} + (y - v) ^ {2} + \lambda F (x, y) + \mu F (u, v) \]

的稳定点。从而满足

\[ \left\{ \begin{array}{r l} 2 (x _ {0} - u _ {0}) + \lambda_ {0} F _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) & = 0 \\ 2 (y _ {0} - v _ {0}) + \lambda_ {0} F _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) & = 0 \\ - 2 (x _ {0} - u _ {0}) + \mu_ {0} F _ {u} (u _ {0}, v _ {0}) & = 0 \\ - 2 (y _ {0} - v _ {0}) + \mu_ {0} F _ {v} (u _ {0}, v _ {0}) & = 0 \end{array} \right. \]

由前两式与后两式分别得到

\[ \begin{array}{l} \left(x _ {0} - u _ {0}, y _ {0} - v _ {0}\right) / \left. (F _ {x}, F _ {y}) \right| _ {P _ {0}}, \\ \left(x _ {0} - u _ {0}, y _ {0} - v _ {0}\right) / \left. (F _ {u}, F _ {v}) \right| _ {Q _ {0}} \\ \end{array} \]

前者表示 \(\overline{P_0Q_0}\) 与 \(\Gamma\) 在 \(P_0\) 的切线垂直，后者表示 \(\overline{P_0Q_0}\) 与 \(\Gamma\) 在 \(Q_0\) 的切线垂直。所以 \(\Gamma\) 在 \(P_0, Q_0\) 两点处的切线互相平行，且垂直于 \(\overline{P_0Q_0}\) .

例 \((5^{*})\)

试求函数

\[ f (x, y, z) = \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \quad (x > 0, y > 0, z > 0) \]

在条件 \(xyz = a^3\) （ \(a > 0\) ）下的最小值，并由此导出相应的不等式.

解设

\[ L = \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} + \lambda (x y z - a ^ {3}), \]

并使

\[ \left\{ \begin{array}{l l} L _ {x} = - 1 / x ^ {2} + \lambda y z = 0 \\ L _ {y} = - 1 / y ^ {2} + \lambda x z = 0 \\ L _ {z} = - 1 / z ^ {2} + \lambda x y = 0 \\ L _ {\lambda} = x y z - a ^ {3} = 0. \end{array} \right. \]

由此方程组易得 x = y = z = a，并有 \(f(a, a, a) = 3/a\) .

下面给出 3/a 是条件最小值的理由.

记 \(S: xyz = a^3\) . 当 \((x, y, z) \in S\) , 且 \(x \to 0\) , 或 \(y \to 0\) , 或 \(z \to 0\) 时，都有 \(f(x, y, z) \to +\infty\) . 故存在 \(\delta (0 < \delta < a/2)\) , 当 \((x, y, z) \in S\) , 且 \(0 < x \leq \delta, 0 < y \leq \delta, 0 < z \leq \delta\) 时，使得 \(f(x, y, z) > 3/a\) .

又设

\[ S _ {1} = \{(x, y, z) | (x, y, z) \in S, x \geq \delta , y \geq \delta , z \geq \delta \}. \]

由于 \(S_{1}\) 为一有界闭集， \(f\) 为连续函数，因此 \(f\) 在 \(S_{1}\) 上存在最大值和最小值。而在 \(S \setminus S_{1}\) 及 \(\partial S_{1}\) 上， \(f\) 的值已大于 \(3 / a\) ，故 \(f\) 在 \(S\) 上的最小值必在 \(S_{1}\) 的内部取得。又因 \(S_{1}\) 内部只有惟一可疑点 \((a, a, a)\) ，所以必定有

\[ \min _ {(x, y, z) \in S} f (x, y, z) = \min _ {(x, y, z) \in S _ {1}} f (x, y, z) = 3 / a. \]

最后，在不等式

\[ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z} \geq \frac {3}{a}, (x, y, z) \in S \]

中，用 \(a = \sqrt[3]{xyz}\) 代入，就得到一个新的不等式：

\[ {\frac {1}{x}} + {\frac {1}{y}} + {\frac {1}{z}} \geq {\frac {3}{\sqrt [ 3 ]{x y z}}}, x > 0, y > 0, z > 0. \]

经整理后，就是 “调和平均不大于几何平均” 这个著名的不等式：

\[ 3 \left(\frac {1}{x} + \frac {1}{y} + \frac {1}{z}\right) ^ {- 1} \leq \sqrt [ 3 ]{x y z}, \quad x > 0, y > 0, z > 0 \]

例 (*6)

利用条件极值方法证明不等式

\[ x y ^ {2} z ^ {3} \leq 1 0 8 \left(\frac {x + y + z}{6}\right) ^ {6}, \quad x > 0, y > 0, z > 0. \]

证 设目标函数为 \(f(x, y, z) = xy^2 z^3\) ，约束条件为 \(\Phi : x + y + z = a \quad (x > 0, y > 0, z > 0, a > 0)\) . 令 \(L = xy^2 z^3 + \lambda (x + y + z - a)\) ，并使

\[ \left\{ \begin{array}{l l} L _ {x} = y ^ {2} z ^ {3} + \lambda = 0 \\ L _ {y} = 2 x y z ^ {3} + \lambda = 0 \\ L _ {z} = 3 x y ^ {2} z ^ {2} + \lambda = 0 \\ L _ {\lambda} = x + y + z - a = 0 \end{array} \right. \]

由前三式解出 \(y = 2x, z = 3x\) ，代入第四式后得到稳定点 \(P_0(x_0, y_0, z_0) = (a/6, a/3, a/2)\) .

下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.

为简单起见，考虑 \(f(x,y,z)\) 在 \(\bar{\Phi} = \Phi \cup \partial \Phi \in R^3\) 上的情形。由于 \(\bar{\Phi}\) 为有界闭集，\(f\) 为连续函数，因此 \(f\) 在 \(\bar{\Phi}\) 上存在最大、小值。首先，显然有

\[ \min _ {(x, y, z) \in \bar {\Phi}} f (x, y, z) = 0 \]

这在 \(\partial \Phi\) 上 \((x = 0,\) 或 \(y = 0,\) 或 \(z = 0)\) 取得。而 \(P_0\in \Phi\) ，且 \(f(P_0) = a^6 /432 > 0\) ，故有

\[ \max _ {(x, y, z) \in \Phi} f (x, y, z) = \max _ {(x, y, z) \in \bar {\Phi}} f (x, y, z) = \frac {a ^ {6}}{4 3 2} \]

由此得到不等式

\[ x y ^ {2} z ^ {3} \leq \frac {a ^ {6}}{4 3 2}, (x, y, z) \in \Phi . \]

又因在 \(\Phi\) 上满足 \(a = x + y + z\) , 把它代入上式，证得

\[ x y ^ {2} z ^ {3} \leq \frac {(x + y + z) ^ {6}}{4 3 2} = 1 0 8 \left(\frac {x + y + z}{6}\right) ^ {6} \]

注 1 在用条件极值方法证明不等式时，设置合适的目标函数与约束条件是解决问题的关键。对于本例来说，也可把上面的条件极大值问题改述为条件极小值问题：求目标函数

\[ f (x, y, z) = x + y + z \]

在条件 \(xy^{2}z^{3}=a\) 约束之下的极小值.

复习思考题

作业

习题例 1: 已知 \(x^{2} + xy + y^{2} = 3\) , 求 \(f(x, y) = x^{2} - xy + y^{2}\) 的最大值与最小值.

解：构造 Lagrange 函数：

\[ L (x, y, \lambda) = x ^ {2} - x y + y ^ {2} + \lambda (x ^ {2} + x y + y ^ {2} - 3). \]

由 \(\nabla L = 0,\) 得

\[ \left\{ \begin{array}{l} 2 x - y + \lambda (2 x + y) = 0, \\ - x + 2 y + \lambda (x + 2 y) = 0, \\ x ^ {2} + x y + y ^ {2} = 3. \end{array} \right. \]

前两式移项：

\[ 2 x - y = - \lambda (2 x + y), \qquad - x + 2 y = - \lambda (x + 2 y). \]

两式相除得

\[ \frac {2 x - y}{- x + 2 y} = \frac {2 x + y}{x + 2 y}. \]

交叉相乘：

\[ (2 x - y) (x + 2 y) = (2 x + y) (- x + 2 y). \]

化简得

\[ x ^ {2} = y ^ {2}, \]

所以

\[ x = y \quad {\text {或}} \quad x = - y. \]

\[ \left\{ \begin{array}{l l} x = y: & 3 x ^ {2} = 3 \Rightarrow x = y = \pm 1, \\ x = - y: & x ^ {2} = 3 \Rightarrow (x, y) = (\sqrt {3}, - \sqrt {3}), (- \sqrt {3}, \sqrt {3}). \end{array} \right. \]

代入

\[ f (x, y) = x ^ {2} - x y + y ^ {2} \]

可得:

\[ \boxed {f _ {\min} = 1}, \qquad \boxed {f _ {\max} = 9}. \]

例 2：已知 \(x - 3\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{y + 2} - y\) ，求 \(x + y\) 的最大值。

构造 Lagrange 函数: \(L(x,y,\lambda)=x+y+\lambda(x+y-3\sqrt{x+1}-3\sqrt{y+2})\) .

由

\[ \frac {\partial L}{\partial x} = 0, \quad \frac {\partial L}{\partial y} = 0 \]

得

\[ 1 + \lambda \left(1 - \frac {3}{2 \sqrt {x + 1}}\right) = 0, \]

\[ 1 + \lambda \left(1 - \frac {3}{2 \sqrt {y + 2}}\right) = 0. \]

因此

\[ \sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 2}. \]

设 \(t = \sqrt{x + 1} = \sqrt{y + 2}\) ，则

\[ x = t ^ {2} - 1, \qquad y = t ^ {2} - 2. \]

代入约束条件：

\[ x + y - 3 \sqrt {x + 1} - 3 \sqrt {y + 2} = 0, \]

得 \((t^2 - 1) + (t^2 - 2) - 6t = 0\) ，即

\[ 2 t ^ {2} - 6 t - 3 = 0. \]

解得

\[ t = \frac {3 + \sqrt {1 5}}{2}. \]

所以，最大值为

\[ x + y = 2 t ^ {2} - 3 = 2 \left(\frac {3 + \sqrt {1 5}}{2}\right) ^ {2} - 3 = 9 + 3 \sqrt {1 5}. \]

拉格朗日乘数法：技巧一览

1. 硬核作差法

思路：前几个式子乘某个东西，之后再作差去掉 \(\lambda\) 。

求 \(\max f(x,y) = xy,\) s.t. \(\varphi (x,y) = x^{2}y^{2} - x^{4} - y^{2} = 0\)

构造 Lagrange 函数: \(L(x,y,\lambda)=xy+\lambda\left(x^{2}y^{2}-x^{4}-y^{2}\right)\) .

于是

\[ L _ {x} ^ {\prime} = y + \lambda (2 x y ^ {2} - 4 x ^ {3}) = 0, \]

\[ L _ {y} ^ {\prime} = x + \lambda (2 y x ^ {2} - 2 y) = 0, \]

\[ L _ {\lambda} ^ {\prime} = x ^ {2} y ^ {2} - x ^ {4} - y ^ {2} = 0. \]

由前 2 式得，

\[ y \cdot (2 y x ^ {2} - 2 y) - x \cdot (2 x y ^ {2} - 4 x ^ {3}) = 0 \]

i.e.,

\[ \implies \quad 4 x ^ {4} - 2 y ^ {2} = 0 \quad \text { i.e., } \quad \boxed {2 x ^ {4} = y ^ {2}} \]

1. 硬核作差法

\[ \max f (x, y, z) = x y + 2 y z \]

s.t. \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10\)

解：构造 Lagrange 函数： \(L(x,y,z,\lambda)=xy+2yz+\lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-10)\) .

\[ \left\{ \begin{array}{l} L _ {x} ^ {\prime} = y + 2 \lambda x = 0, \\ L _ {y} ^ {\prime} = x + 2 z + 2 \lambda y = 0, \\ L _ {z} ^ {\prime} = 2 y + 2 \lambda z = 0, \\ L _ {\lambda} ^ {\prime} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - 1 0 = 0. \end{array} \right. \]

\[ \begin{array}{r l} {(1) / (3)} & {2 y z - 4 x y = 0,} \\ & {y (z - 2 x) = 0.} \end{array} \]

\[ (2) / (3) \quad 2 z ^ {2} + x z - 2 y ^ {2} = 0. \]

分类讨论：由 y = 0 与 z = 2x 得到候选点

\[ 4 z ^ {2} + 2 x z - 4 y ^ {2} = 0 \]

1. 当 \(y = 0\) 时：

\[ 2 z ^ {2} + x z = 0 \]

因此 z = 0 或 x = -2z.

A) 若 z = 0，则 y = z = 0.

代入球面约束 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10\) ，得

\[ x = \pm \sqrt {1 0}. \]

但此时还需满足另一条件

\[ x + 2 z + 2 \lambda y = 0. \]

由于 y = z = 0，上式变为

\[ x = 0, \]

与 \(x = \pm\sqrt{10}\) 矛盾。

所以，A）不可能。

B) 若 \(x = -2z\) , 代入 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10\) , 且 \(y = 0\) , 得 \(4z^{2} + z^{2} = 10\) , 即 \(z^{2} = 2\) . 因此得到 \((x, y, z) = (-2\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})\) , \((2\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2})\) .

1. \(z = 2x\)

由 \(z = 2x\) ，代入 \(4z^{2} + 2xz - 4y^{2} = 0\) ，得

\[ 4 (2 x) ^ {2} + 2 x (2 x) - 4 y ^ {2} = 0, \quad 5 x ^ {2} = y ^ {2}. \]

因此 \(y = \pm \sqrt{5} x\) 。再代入球面约束 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10\) ，有

\[ x ^ {2} + 5 x ^ {2} + 4 x ^ {2} = 1 0 \Rightarrow 1 0 x ^ {2} = 1 0 \Rightarrow x ^ {2} = 1. \]

所以 \(x = \pm 1, z = 2x, y = \pm \sqrt{5} x\) 。

由此得到候选点： \((1,\sqrt{5},2),\quad (1, - \sqrt{5},2),\quad (-1, - \sqrt{5}, - 2),\quad (-1,\sqrt{5}, - 2).\)

单项连等法

思路：当 \(f(x,y,z)=mx^{a}y^{b}z^{c}\) 时，构造相等的项，然后连等消去 \(\lambda\) 。

设 \(x, y, z > 0\) ，求 \(f(x, y, z) = 8xyz\) 在 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\) 下的最大值。

解：

\[ L = 8 x y z + \lambda \left(\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} + \frac {z ^ {2}}{c ^ {2}} - 1\right). \]

由 \(L_{x}^{\prime}=L_{y}^{\prime}=L_{z}^{\prime}=0\) ，得

\[ \left\{ \begin{array}{l l} 8 y z + \frac {2 \lambda x}{a ^ {2}} = 0, \\ 8 x z + \frac {2 \lambda y}{b ^ {2}} = 0, \\ 8 x y + \frac {2 \lambda z}{c ^ {2}} = 0. \end{array} \right. \]

分别乘以 \(x, y, z\) ，得

\[ - 8 x y z = \frac {2 \lambda x ^ {2}}{a ^ {2}} = \frac {2 \lambda y ^ {2}}{b ^ {2}} = \frac {2 \lambda z ^ {2}}{c ^ {2}}. \]

由于 x, y, z > 0，故 \(\lambda \neq 0\) ，于是

\[ {\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}} = {\frac {y ^ {2}}{b ^ {2}}} = {\frac {z ^ {2}}{c ^ {2}}}. \]

再由约束 \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\) ，可得

\[ {\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}} = {\frac {y ^ {2}}{b ^ {2}}} = {\frac {z ^ {2}}{c ^ {2}}} = {\frac {1}{3}}. \]

因此

\[ x = \frac {a}{\sqrt {3}}, \qquad y = \frac {b}{\sqrt {3}}, \qquad z = \frac {c}{\sqrt {3}}. \]

最大值为

\[ f _ {\mathrm{max}} = 8 \cdot \frac {a}{\sqrt {3}} \cdot \frac {b}{\sqrt {3}} \cdot \frac {c}{\sqrt {3}} = \frac {8 a b c}{3 \sqrt {3}}. \]

对称作差法

思路：若 \(L(x,y,z,\lambda)\) 关于 x,y 对称，则作差 \(L_{x}^{\prime}-L_{y}^{\prime}\) ；若关于 y,z 对称，则作差 \(L_{y}^{\prime}-L_{z}^{\prime}\) 。 设 x, y, z > 0，求 \(f(x, y, z) = xyz^{3}\) 在 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5R^{2}\) 下的最大值。

解：令

\[ L = x y z ^ {3} + \lambda (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - 5 R ^ {2}). \]

由 \(\nabla L = 0\) ，得

\[ \left\{ \begin{array}{l} L _ {x} ^ {\prime} = y z ^ {3} + 2 \lambda x = 0, \\ L _ {y} ^ {\prime} = x z ^ {3} + 2 \lambda y = 0, \\ L _ {z} ^ {\prime} = 3 x y z ^ {2} + 2 \lambda z = 0, \\ L _ {\lambda} ^ {\prime} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - 5 R ^ {2} = 0. \end{array} \right. \]

由 (1)-(2) 得

\[ y z ^ {3} + 2 \lambda x - (x z ^ {3} + 2 \lambda y) = 0 \Rightarrow (y - x) z ^ {3} + 2 \lambda (x - y) = 0 \Rightarrow (x - y) (2 \lambda - z ^ {3}) = 0. \]

所以 x = y 或 \(z^{3} = 2\lambda\) 。

1. 当 \(x = y\) 时：由 (1) 得 \(x(z^3 + 2\lambda) = 0\) 。因 \(x > 0\) ，故 \(z^3 = -2\lambda\) 。

再代入 (3):

\[ 3 x ^ {2} z ^ {2} + 2 \lambda z = 0 \Rightarrow z ^ {2} (3 x ^ {2} - z ^ {2}) = 0. \]

因 z > 0，故 \(z^{2} = 3x^{2}\) ，即 \(z = \sqrt{3}x\) 。

代入 (4): \(x^{2} + x^{2} + 3x^{2} = 5R^{2}\) ，得 x = R。

因此 \(x = y = R, \quad z = \sqrt{3} R.\)

1. 当 \(z^{3}=2\lambda\) 时：代入 (1) 得 \(z^{3}(x+y)=0\) ，与 x,y,z>0 矛盾，舍去。

所以最大值为

\[ f _ {\mathrm{max}} = R \cdot R \cdot (\sqrt {3} R) ^ {3} = 3 \sqrt {3} R ^ {5}. \]

行列式求解法

思路：若 \(L_{x}^{\prime}=0,\quad L_{y}^{\prime}=0,\quad L_{z}^{\prime}=0\) 构成线性方程组，则可用行列式求解。

求 \(f(x,y,z) = xy + 2yz\) 在 \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10\) 下的最大值。

解：令 \(L = xy + 2yz + \lambda (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10)\) ，则

\[ \left\{ \begin{array}{l} y + 2 \lambda x = 0, \\ x + 2 z + 2 \lambda y = 0, \\ 2 y + 2 \lambda z = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 0. \end{array} \right. \]

前三式是关于 \(x, y, z\) 的齐次线性方程组：

\[ \left( \begin{array}{c c c} 2 \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2 \lambda & 2 \\ 0 & 2 & 2 \lambda \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right). \]

要有非零解，系数行列式为 0:

\[ \left| \begin{array}{c c c} 2 \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2 \lambda & 2 \\ 0 & 2 & 2 \lambda \end{array} \right| = 0 \Rightarrow \lambda (8 \lambda^ {2} - 1 0) = 0. \]

故 \(\lambda = 0\) 或 \(\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\) 。

当 \(\lambda=0\) 时，由 y=0, \(x+2z=0\) ，再代入约束得 \(z=\pm\sqrt{2}\) ，即 \((-2\sqrt{2},0,\sqrt{2})\) , \((2\sqrt{2},0,-\sqrt{2})\) 。

当 \(\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}\) 时，由 \(y = -\sqrt{5} x, y = -\frac{\sqrt{5}}{2} z\) ，得 \(z = 2x\) 。代入约束得 \(x = \pm 1\) 。

当 \(\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}\) 时，同理得 \(z = 2x, y = \sqrt{5} x, x = \pm 1\) 。

比较各点函数值，最大值为 \(\boxed{5\sqrt{5}}\) .

例：椭圆上一点到直线的最大距离

已知直线 \(l: x + y = 6\) ， \(P\) 为椭圆 \(\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1\) 上一点，求 \(P\) 到 \(l\) 的最大距离。由题意，最大距离点 \(P\) 应在与 \(l\) 平行的椭圆切线上，且 \(P\) 为切点。

设椭圆为 \(F(x,y) = \frac{x^2}{20} +\frac{y^2}{5} -1 = 0\) ，则

\[ {\frac {d y}{d x}} = - {\frac {F _ {x}}{F _ {y}}} = - {\frac {x / 1 0}{2 y / 5}} = - {\frac {x}{4 y}}. \]

因为切线与 \(l: x + y = 6\) 平行，所以切线斜率为 \(-1\) ，故 \(-\frac{x}{4y} = -1\) ，即 \(x = 4y\) 。

联立 \(x = 4y\) 与 \(\frac{x^2}{20} +\frac{y^2}{5} = 1\) ，得 \(y = \pm 1\) ， \(x = \pm 4\) 。

候选点为 \((4,1)\) 与 \((-4,-1)\) 。分别到直线 \(x+y-6=0\) 的距离为

\[ d _ {1} = \frac {| 4 + 1 - 6 |}{\sqrt {2}} = \frac {1}{\sqrt {2}}, \qquad \boxed {d _ {2} = \frac {| - 4 - 1 - 6 |}{\sqrt {2}} = \frac {1 1}{\sqrt {2}}}. \]