重积分

§1 二重积分概念

二重积分是定积分在平面上的推广

不同之处：定积分定义在区间上，区间的长度容易计算，而二重积分定义在平面区域上，其面积的计算要复杂得多.

平面图形的面积

平面图形 P 是有界的，如果存在一矩形 R, 使得 \(P \subset R\) .

设 \(P\) 是一平面有界图形，用平行于二坐标轴的某一组直线网 \(T\) 分割这个图形（图 21-1），这时直线网 \(T\) 的网眼（小闭矩形） \(\Delta_{i}\) 可分为三类：

将所有属于第 (i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分) 的面积加起来，记这个和数为 \(s_P(T)\) , 则有 \(s_P(T) \leq \Delta_R\) (这里 \(\Delta_R\) 表示包含 \(P\) 的那个矩形 \(\pmb{R}\) 的面积);

将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的面积加起来 (图 21-1 中除青色部分), 记这个和数为 \(S_P(T)\) , 则有 \(s_P(T) \leq S_P(T)\) .

由确界存在定理，对于平面上所有直线网，数集 \(\{s_{P}(T)\}\) 有上确界，\(\{S_{P}(T)\}\) 有下确界。记

\[ \underline {{I}} _ {P} = \sup _ {T} \left\{s _ {P} (T) \right\}, \quad \bar {I} _ {P} = \inf _ {T} \left\{S _ {P} (T) \right\} \tag {1} \]

显然有

\[ \mathbf {0} \leq \underline {{\boldsymbol {I}}} _ {P} \leq \overline {{\boldsymbol {I}}} _ {P}. \]

通常称 \(I_{P}\) 为 P 的内面积，\(\bar{I}_{P}\) 为 P 的外面积.

定义 (平面图形面积)

若平面图形 P 满足 \(I_{P} = \bar{I}_{P}\) ，则称 P 为可求面积的图形，并把共同值 \(I_{P} = I_{P} = \bar{I}_{P}\) 作为 P 的面积.

定理 (21.1)

平面有界图形 \(P\) 可求面积

对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，总存在直线网 T，使得

\[ S _ {P} (T) - s _ {P} (T) < \varepsilon . \tag {2} \]

证 必要性 设有界图形 P 的面积为 \(I_{P}\) . 由平面图形面积的定义，\(I_{P} = \underline{I}_{P} = \overline{I}_{P} \cdot \forall \varepsilon > 0\) , 由 \(\underline{I}_{P}\) 及 \(\overline{I}_{P}\) 的定义，分别存在直线网 \(T_{1}\) 与 \(T_{2}\) , 使得

\[ s _ {P} \left(T _ {1}\right) > I _ {P} - \frac {\varepsilon}{2}, \quad S _ {P} \left(T _ {2}\right) < I _ {P} + \frac {\varepsilon}{2}. \tag {3} \]

记 \(T\) 为由 \(T_{1}\) 与 \(T_{2}\) 这两个直线网合并所成的直线网，可证得 \(s_{P}(T_{1}) \leq s_{P}(T), S_{P}(T_{2}) \geq S_{P}(T)\) .

于是由 (3) 可得

\[ s _ {P} (T) > I _ {P} - \frac {\varepsilon}{2}, \quad S _ {P} (T) < I _ {P} + \frac {\varepsilon}{2}. \]

从而对直线网 T 有 \(S_{P}(T) - s_{P}(T) < \varepsilon\) .

充分性 设对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，存在某直线网 T，使得

\[ S _ {P} (T) - s _ {P} (T) < \varepsilon . \]

但

\[ s _ {P} (T) \leq \underline {{I}} _ {P} \leq \bar {I} _ {P} \leq S _ {P} (T), \]

所以 \(\bar{I}_{P}-\underline{I}_{P}\leq S_{P}(T)-s_{P}(T)<\varepsilon.\) 由 \(\varepsilon\) 的任意性，得 \(\underline{I}_{P}=\overline{I}_{P}\) , 因而平面图形 P 可求面积.

推论

平面有界图形 \(P\) 的面积为零

它的外面积 \(\bar{I}_{P}=0\) ，即对任给的 \(\varepsilon>0\) ，存在直线网 T，使得

\[ S _ {P} (T) < \varepsilon , \]

或对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，平面图形 P 能被有限个面积总和小于 \(\varepsilon\) 的小矩形所覆盖.

定理 (21.2)

平面有界图形 \(P\) 可求面积

P 的边界 K 的面积为零.

证 由定理 21.1, P 可求面积的充要条件是：对任给的 \(\varepsilon > 0\) ，存在直线网 T，使得 \(S_{P}(T) - s_{P}(T) < \varepsilon\) 。由于

\[ S _ {K} (T) = S _ {P} (T) - s _ {P} (T), \]

所以也有 \(S_{K}(T) < \varepsilon\) . 由上述推论，P 的边界 K 的面积为零.

定理 (21.3)

若曲线 K 为定义在 \([a, b]\) 上的连续函数 \(f(x)\) 的图象，则曲线 K 的面积为零.

证 由于 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，所以它在 \([a,b]\) 上一致连续。因而， \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) ，当

\[ a = x _ {0} < x _ {1} < \dots < x _ {n} = b, \]

\[ \max \left\{\Delta x _ {i} = x _ {i} - x _ {i - 1} \mid i = 1, 2, \dots , n \right\} < \delta \]

时，可使 \(f(x)\) 在每个小区间 \([x_{i - 1},x_i]\) 上的振幅都成立 \(\omega_{i} < \frac{\varepsilon}{b - a}\)

即若把曲线 K 按 \(x = x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\) ，分成 n 个小段，则每一小段都能被以 \(\Delta x_{i}\) 为宽， \(\omega_{i}\) 为高的小矩形所覆盖。由于这 n 个小矩形面积的总和

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} \omega_ {i} \Delta x _ {i} < \frac {\varepsilon}{b - a} \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta x _ {i} = \varepsilon \]

因此由定理 21.1 的推论，即得曲线 K 的面积为零.

推论 (1)

参量方程 \(x = \varphi(t), y = \psi(t) (\alpha \leq t \leq \beta)\) 所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积一定为零.

证 由光滑曲线的定义， \(\varphi^{\prime},\psi^{\prime}\) 均存在且不同时为零．由隐函数存在性定理， \(\forall t_{0}\in[\alpha,\beta]\) ， \(\varphi^{\prime}(t_{0})\neq0\) （或 \(\psi^{\prime}(t_{0})\neq0\) ），因此 \(\exists U(t_{0};\delta),x=\varphi(t)\) （或 \(y=\psi(t)\) ）在 \(U(t_{0};\delta)\) 上有反函数．再由有限覆盖定理，可把区间 \([\alpha,\beta]\) 分成 n 段：

\[ \alpha = t _ {0} < t _ {1} < \dots < t _ {n} = \beta \]

使得在每一段 \([t_{i - 1}, t_i]\) 上，\(x = \varphi(t)\) (或 \(y = \psi(t)\)) 存在反函数 \(t = \varphi^{-1}(x)\) (或 \(t = \psi^{-1}(x)\)), 于是在 \([t_{i - 1}, t_i]\) 上有连续的 \(y = \psi(\varphi^{-1}(x))\) . (或 \(x = \varphi(\psi^{-1}(y)))\) . 所以在 \([t_{i - 1}, t_i]\) 上的曲线面积为零，从而整个曲线面积为零.

推论 (2)

由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.

注 1 平面中并非所有的点集都是可求面积的。例如

\[ D = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbf {Q} \cap [ 0, 1 ] \}. \]

易知 \(0 = \underline{I}_D < \overline{\boldsymbol{I}}_D = \mathbf{1}\) , 因此 \(D\) 是不可求面积的.

注 2 以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成的有界闭区域.

二重积分的定义及其存在性

几何背景：求曲顶柱体的体积.

设 \(f(x,y)\) 为定义在可求面积的有界闭域 \(\pmb{D}\) 上的非负连续函数。求以曲面 \(z = f(x,y)\) 为顶，\(D\) 为底的柱体 (图 21-2) 的体积 \(V\)

采用类似于求曲边梯形面积的方法.

(1) 分割：先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域 D 分成 n 个小区域 \(\sigma_{i}(i=1,2,\cdots,n)\) (称 T 为区域 D 的一个分割). 以 \(\Delta\sigma_{i}\) 表示小区域 \(\sigma_{i}\) 的面积。这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 \(\sigma_{i}\) 为底的小曲顶柱体 \(V_{i}(i=1,2,\cdots,n)\) .

(2) 近似求和：由于 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上连续，故当每个 \(\sigma_{i}\) 的直径都很小时，\(f(x, y)\) 在 \(\sigma_{i}\) 上各点的函数值相差无几，因而可在 \(\sigma_{i}\) 上任取一点 \((\xi_{i}, \eta_{i})\) ,

用以 \(f(\xi_{i},\eta_{i})\) 为高， \(\sigma_{i}\) 为底的小平顶柱体的体积 \(f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}\) 作为 \(V_{i}\) 的体积 \(\Delta V_{i}\) 的近似值（如图 21-3），即

\[ \Delta V _ {i} \approx f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta \sigma_ {i} \]

把这些小平顶柱体的体积加起来，就得到曲顶柱体体积 V 的近似值 \(V = \sum_{i=1}^{n} \Delta V_{i} \approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}) \Delta \sigma_{i}\) .

(3) 取极限：当直线网 \(T\) 的网眼越来越细密，即分割 \(T\) 的细度 \(\| T \| = \max_{1 \leq i \leq n} d_i\) (\(d_i\) 为 \(\sigma_i\) 的直径) 趋于零时，就有

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\xi_ {i}, \eta_ {i}\right) \Delta \sigma_ {i} \rightarrow V \]

这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.

上面叙述的问题都可归为以下数学问题.

设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域，\(f(x,y)\) 为定义在 D 上的函数。用任意的曲线网把 D 分成 n 个可求面积的小区域 \(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n}\) .

以 \(\Delta \sigma_{i}\) 表示小区域 \(\sigma_{i}\) 的面积，这些小区域构成 \(D\) 的一个分割 \(T\) , 以 \(d_{i}\) 表示小区域 \(\sigma_{i}\) 的直径，称

\[ \| T \| = \max _ {1 \leq i \leq n} d _ {i} \]

为 T 的细度。在每个 \(\sigma_{i}\) 上任取一点 \((\xi_{i}, \eta_{i})\) ，作和式

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \Delta \sigma_ {i} \]

称它为函数 f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和.

定义 (二重积分)

设 \(f(x,y)\) 是定义在可求面积的有界闭域 \(D\) 上的函数. \(J\) 是一个确定的实数，若对任给的正数 \(\varepsilon\) , 总存在某个正数 \(\delta\) , 使对于 \(D\) 的任何分割 \(T\) , 当它的细度 \(\| T \| < \delta\) 时，属于 \(T\) 的所有积分和都有

\[ \left| \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\xi_ {i}, \eta_ {i}\right) \Delta \sigma_ {i} - J \right| < \varepsilon , \tag {4} \]

则称 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上可积，数 \(J\) 称为函数 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上二重积分，记作

\[ J = \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma \tag {5} \]

其中 \(f(x,y)\) 称为二重积分的被积函数，x,y 称为积分变量，D 称为积分区域.

当 \(f(x,y)\geq 0\) 时，二重积分 \(\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\) 在几何上就表示以 \(z = f(x,y)\) 为曲顶， \(D\) 为底的曲顶柱体的体积.

当 \(f(x,y)=1\) 时，二重积分 \(\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\) 的值就等于积分区域 D 的面积.

注 1 由二重积分定义，若 \(f(x,y)\) 在区域 \(D\) 上可积，则与定积分情形一样，对任何分割 \(T\) , 只要当 \(\| T \| < \delta\) 时，(4) 式都成立。因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割 \(D\) , 则每一小网眼区域的 \(\sigma\) 的面积 \(\Delta \sigma = \Delta x \Delta y\) . 此时通常把 \(\iint_{D} f(x,y) \mathrm{d}\sigma\) 记作

\[ \iint_ {D} f (x, y) d x d y \tag {6} \]

注 2 如定积分那样，类似地可证明：函数 \(f(x, y)\) 在可求面积的 \(D\) 上可积的必要条件是它在 \(D\) 上有界.

设函数 \(f(x,y)\) 在 D 上有界，T 为 D 的一个分割，它把 D 分成 n 个可求面积的小区域 \(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}\) . 令

\[ \begin{array}{l} M _ {i} = \sup f (x, y) \\ (x, y) \in \sigma_ {i} \\ m _ {i} = \inf _ {(x, y) \in \sigma_ {i}} f (x, y) \quad (i = 1, 2, \dots , n). \\ \end{array} \]

作和式 \(S(T) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta \sigma_i, s(T) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta \sigma_i\) , 它们分别称为 \(f(x, y)\) 关于分割 \(T\) 的上和与下和.

二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质，这里就不再重复.

下面列出有关二元函数的可积性定理，这里只证明其中的定理 21.7.

定理 (21.4)

\[ f (x, y) \text {在} D \text {上可积} \iff \lim _ {\| T \| \to 0} S (T) = \lim _ {\| T \| \to 0} s (T). \]

定理 (21.5)

\[ f (x, y) \text {在} D \text {上可积} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0, \text {存在} D \text {的某个分割} T, \text {使得} S (T) - s (T) < \varepsilon . \]

定理 (21.6)

有界闭域 D 上的连续函数必可积.

定理 (21.7)

设 \(f(x,y)\) 是定义在有界闭域 \(D\) 上的有界函数，且其不连续点集 \(\pmb{E}\) 是零面积集。则 \(\pmb{f}(\pmb{x},\pmb{y})\) 在 \(D\) 上可积.

证 对任意 \(\varepsilon > 0\) , 存在有限个矩形 (不包含边界) 覆盖了 \(E\) , 而这些矩形面积之和 \(< \varepsilon\) . 记这些矩形之并集为 \(K\) , 则 \(D \setminus E\) 是有界闭集 (也可能是有限多个不交的有界闭区域的并). 设 \(K \cap D\) 的面积为 \(\Delta_K\) , 则 \(\Delta_K < \varepsilon\) .

因 \(f(x,y)\) 在 \(D\backslash E\) 上连续，由定理 21.5 和定理 21.6, 存在 \(D\backslash E\) 上的分割 \(T_{1}=\{\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n}\}\) , 使得 \(S(T_{1})-s(T_{1})<\varepsilon\) . 令 \(T=\{\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n},K\cap D\}\) , 则 T 是 D 的一个分割。且 \(S(T)-s(T)=S(T_{1})-s(T_{1})+\omega_{K}\Delta_{K}<\varepsilon+\omega\varepsilon\) , 其中 \(\omega_{K},\omega\) 分别是 \(f(x,y)\) 在 \(K\cap D\) 上和在 D 上的振幅。由定理 21.5, \(f(x,y)\) 在 D 上可积.

二重积分的性质

二重积分与定积分具有类似的性质，现列举如下:

1. 若 \(f(x,y)\) 在 D 上可积，k 为常数，则 \(kf(x,y)\) 在 D 上也可积，且

\[ \iint_ {D} k f (x, y) \mathrm{d} \sigma = k \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma . \]

1. 若 \(f(x,y)\) , \(g(x,y)\) 在 D 上都可积，则 \(f(x,y) \pm g(x,y)\) 在 D 上也可积，且

\[ \iint_ {D} [ f (x, y) \pm g (x, y) ] \mathrm{d} \sigma = \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma \pm \iint_ {D} g (x, y) \mathrm{d} \sigma \]

1. 若 \(f(x, y)\) 在 \(D_1\) 和 \(D_2\) 上都可积，且 \(D_1\) 与 \(D_2\) 无公共内点，则 \(f(x, y)\) 在 \(D_1 \cup D_2\) 上也可积，且

\[ \iint_ {D _ {1} \cup D _ {2}} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \iint_ {D _ {1}} f (x, y) \mathrm{d} \sigma + \iint_ {D _ {2}} f (x, y) \mathrm{d} \sigma . \]

1. 若 \(f(x,y)\) 与 \(g(x,y)\) 在 D 上可积，且

\[ f (x, y) \leq g (x, y), (x, y) \in D, \]

则有

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma \leq \iint_ {D} g (x, y) \mathrm{d} \sigma . \]

1. 若 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上可积，则函数 \(|f(x, y)|\) 在 \(D\) 上也可积，且

\[ \left| \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma \right| \leq \iint_ {D} | f (x, y) | \mathrm{d} \sigma . \]

1. 若 \(f(x,y)\) 在 D 上可积，且

\[ m \leq f (x, y) \leq M, \quad (x, y) \in D, \]

则有 \(mS_{D} \leq \iint_{D} f(x, y) \, \mathrm{d}\sigma \leq MS_{D}\) ，这里 \(S_{D}\) 是积分区域 D 的面积.

1. (积分中值定理) 若 \(f(x, y)\) 在有界闭域 \(D\) 上连续，则存在 \((\xi, \eta) \in D\) , 使得

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = f (\xi , \eta) S _ {D} \]

积分中值定理的几何意义：在 \(D\) 上，以 \(z = f(x, y) (f(x, y) \geq 0)\) 为顶的曲顶柱体体积，等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 中某点 \((\xi, \eta)\) 处的函数值 \(f(\xi, \eta)\) .

例 (*1)

设 \(D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,0\leq y\leq\varphi(x)\}\) ,

\[ L = \{(x, \varphi (x)) \mid x \in [ a, b ] \} \]

G 是 \(R^{2}\) 中有界闭域，\(D \subset \operatorname{int} G \subset G\) ; \(f(x, y)\) 是 G 上可积函数.

则 \(\forall\varepsilon>0,\) 存在顶点在 L 上的折线 l, 使得

\[ \left| \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {\Delta} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right| < \varepsilon . \]

其中 \(\Delta\) 是由 x = a, x = b, y = 0 与折线 l 所围成的多边形.

证设 \(\forall(x,y)\in G,|f(x,y)|<M.\forall\varepsilon>0,\) 令

\[ \varepsilon^ {\prime} = \frac {\varepsilon}{2 M (b - a)}. \]

由于 \(\varphi\) 在 \([a,b]\) 上一致连续，因此存在 \(\delta > 0\) , 使对 \(\forall x', x'' \in [a,b], |x' - x''| < \delta\) 时，就有

\[ \left| \varphi \left(x ^ {\prime}\right) - \varphi \left(x ^ {\prime \prime}\right) \right| < \varepsilon^ {\prime} \]

取分割 \(T: a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b,\) 使得

\[ \max \left\{\left| x _ {i} - x _ {i - 1} \right|: i = 1, \dots , n \right\} < \delta \]

直线 \(x = x_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)\) 将 D 分割为 \(D_{i}, i = 1, \cdots, n\) ，又将 \(\Delta\) 分割为 \(\Delta_{i}, i = 1, \cdots, n\) 。于是

\[ \left| \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {\Delta} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right| \]

\[ \leq \sum_ {i = 1} ^ {n} \left| \iint_ {D _ {i}} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {\Delta_ {i}} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right| \]

\[ \leq \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ \iint_ {D _ {i} \Delta_ {i}} | f (x, y) | \mathrm{d} x \mathrm{d} y + \iint_ {\Delta_ {i} \backslash D _ {i}} | f (x, y) | \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right] \]

\[ < \sum_ {i = 1} ^ {n} 2 M \omega_ {i} | x _ {i} - x _ {i - 1} | = 2 M (b - a) \varepsilon^ {\prime} = \varepsilon \]

习题

P. 221

1、3

§2 直角坐标系下二重积分的计算

二重积分计算的要点是把它化为定积分.

多种方法，其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.

在矩形区域上二重积分的计算

定理 (21.8)

\(f(x,y)\) 在矩形区域 \(D = [a,b]\times [c,d]\) 上可积，且对每个 \(x\in [a,b]\) ，积分 \(\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y\) 存在，则累次积分

\[ \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {c} ^ {d} f (x, y) \mathrm{d} y \triangleq \int_ {a} ^ {b} \left(\int_ {c} ^ {d} f (x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x \]

也存在，且

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {c} ^ {d} f (x, y) \mathrm{d} y \tag {1} \]

证 令 \(F(x) = \int_{c}^{d} f(x, y) \mathrm{d}y\) ，定理要求证明 \(F(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，且积分结果恰为二重积分。为此，对区间 \([a, b]\) 与 \([c, d]\) 分别作分割

\[ \begin{array}{l} a = x _ {0} < x _ {1} < \dots < x _ {r} = b, \\ c = y _ {0} < y _ {1} < \dots < y _ {s} = d. \\ \end{array} \]

按这些分点作两组直线

\[ \begin{array}{l} x = x _ {i} \quad (i = 1, 2, \dots , r - 1), \\ y = y _ {k} \quad (k = 1, 2, \dots , s - 1), \\ \end{array} \]

把矩形 D 分为 rs 个小矩形 (图 21-4).

记 \(\Delta_{ik}\) 为小矩形 \([x_{i - 1},x_i]\times [y_{k - 1},y_k]\)

\[ (i = 1, 2, \dots , r; k = 1, 2, \dots , s). \]

设 \(f(x,y)\) 在 \(\Delta_{ik}\) 上的上确界和下确界分别为 \(M_{ik}\) 和 \(m_{ik}\) . 在区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 中任取一点 \(\xi_i\) , 于是就有不等式

\[ m _ {i k} \Delta y _ {k} \leq \int_ {y _ {k - 1}} ^ {y _ {k}} f (\xi_ {i}, y) \mathrm{d} y \leq M _ {i k} \Delta y _ {k}, \]

其中 \(\Delta y_{k}=y_{k}-y_{k-1}\) . 因此

\[ \sum_ {k = 1} ^ {s} m _ {i k} \Delta y _ {k} \leq F (\xi_ {i}) = \int_ {c} ^ {d} f (\xi_ {i}, y) \mathrm{d} y \leq \sum_ {k = 1} ^ {s} M _ {i k} \Delta y _ {k}, \]

\[ \sum_ {i = 1} ^ {r} \sum_ {k = 1} ^ {s} m _ {i k} \Delta y _ {k} \Delta x _ {i} \leq \sum_ {i = 1} ^ {r} F (\xi_ {i}) \Delta x _ {i} \leq \sum_ {i = 1} ^ {r} \sum_ {k = 1} ^ {s} M _ {i k} \Delta y _ {k} \Delta x _ {i}, \tag {2} \]

其中 \(\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}\) . 记 \(\Delta_{ik}\) 的对角线长度为 \(d_{ik}\) ，于是

\[ \| T \| = \max _ {i, k} d _ {i k} \]

由于二重积分存在，由定理 21.4, 当 \(\|T\| \to 0\) 时，使 \(\sum_{i,k} m_{ik} \Delta y_k \Delta x_i\) 和 \(\sum_{i,k} M_{ik} \Delta y_k \Delta x_i\) 有相同的极限，且极限值等于 \(\iint_D f(x,y) \mathrm{d}\sigma\) . 因此当 \(\|T\| \to 0\) 时，由不等式 (2) 可得:

\[ \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {r} F (\xi_ {i}) \Delta x _ {i} = \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma \tag {3} \]

由于当 \(\|T\|\to0\) 时，必有 \(\max_{1\leq i\leq r}\Delta x_{i}\to0\) ，因此由定积分定义，(3) 式左边

\[ \lim _ {\| T \| \to 0} \sum_ {i = 1} ^ {r} F (\xi_ {i}) \Delta x _ {i} = \int_ {a} ^ {b} F (x) \mathrm{d} x = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {c} ^ {d} f (x, y) \mathrm{d} y. \]

定理 (21.9)

\(f(x,y)\) 在矩形区域 \(D = [a,b]\times [c,d]\) 上可积，且对每个 \(y\in [c,d]\) ，积分 \(\int_a^b f(x,y)dx\) 存在，则累次积分

\[ \int_ {c} ^ {d} \mathrm{d} y \int_ {a} ^ {b} f (x, y) \mathrm{d} x = \int_ {c} ^ {d} \left(\int_ {a} ^ {b} f (x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x \]

也存在，且

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {c} ^ {d} \mathrm{d} y \int_ {a} ^ {b} f (x, y) \mathrm{d} x. \]

定理 21.9 的证明与定理 21.8 相仿.

特别当 \(f(x,y)\) 在矩形区域 \(D=[a,b]\times[c,d]\) 上连续时，则有

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {c} ^ {\mathrm{d}} f (x, y) \mathrm{d} y = \int_ {c} ^ {d} \mathrm{d} y \int_ {a} ^ {b} f (x, y) \mathrm{d} x. \]

例 (1)

计算 \(\iint_{D}(x+y)^{2}\mathrm{d}\sigma,\) 其中 \(D=[0,1]\times[0,1]\) .

解 应用定理 21.8 (或定理 21.9), 有

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {0} ^ {1} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {1} (x + y) ^ {2} \mathrm{d} y \\ = \int_ {0} ^ {1} \left[ \frac {(x + 1) ^ {3}}{3} - \frac {x ^ {3}}{3} \right] \mathrm{d} x = \frac {7}{6}. \\ \end{array} \]

在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算

对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.

称平面点集

\[ D = \{(x, y) \mid y _ {1} (x) \leq y \leq y _ {2} (x), a \leq x \leq b \} \tag {4} \]

为 x 型区域 (图 21-5 (a));

称平面点集

\[ D = \{(x, y) \mid x _ {1} (y) \leq x \leq x _ {2} (y), c \leq y \leq d \} \tag {5} \]

为 y 型区域 (图 21-5 (b)).

这些区域的特点是:

当 \(D\) 为 \(x\) 型区域时，垂直于 \(x\) 轴的直线 \(x = x_0 (a < x_0 < b)\) 至多与区域 \(D\) 的边界交于两点；

当 D 为 y 型区域时，直线 \(y = y_{0} (c < y_{0} < d)\) 至多与 D 的边界交于两点.

定理 (21.10)

若 \(f(x,y)\) 在如 (4) 式所示的 \(x\) 型区域 \(D\) 上连续，其中 \(y_{1}(x),y_{2}(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {y _ {1} (x)} ^ {y _ {2} (x)} f (x, y) \mathrm{d} y. \]

即二重积分可化为先对 y 、后对 x 的累次积分.

证 由于 \(y_{1}(x)\) 与 \(y_{2}(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，故存在矩形区域 \([a,b] \times [c,d] \supset D\) （如图 21-5 (a)). 现作一定义在 \([a,b] \times [c,d]\) 上的函数

\[ F (x, y) = \left\{ \begin{array}{c l} f (x, y), & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \notin D. \end{array} \right. \]

容易知道函数 \(F(x,y)\) 在 \([a,b]\times[c,d]\) 上可积，而且

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \iint_ {[ a, b ] \times [ c, d ]} F (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {c} ^ {d} F (x, y) \mathrm{d} y \\ = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {y _ {1} (x)} ^ {y _ {2} (x)} F (x, y) \mathrm{d} y = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {y _ {1} (x)} ^ {y _ {2} (x)} f (x, y) \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

类似可证，若 \(D\) 为 (5) 式所示的 \(y\) 型区域，其中 \(x_{1}(y), x_{2}(y)\) 在 \([c, d]\) 上连续，则二重积分可化为先对 \(x\) 、后对 \(y\) 的累次积分

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} \sigma = \int_ {c} ^ {d} \mathrm{d} y \int_ {x _ {1} (y)} ^ {x _ {2} (y)} f (x, y) \mathrm{d} x. \]

例 (2)

设 D 是由直线 x = 0, y = 1 及 y = x 围成的区域，试计算:

\[ I = \iint_ {D} x ^ {2} \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \mathrm{d} \sigma . \]

解 若用先对 y 、后对 x 的积分，则有

\[ I = \int_ {0} ^ {1} x ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {x} ^ {1} \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \mathrm{d} y. \]

由于 \(\mathrm{e}^{-y^2}\) 的原函数无法求得，因此改用另一种顺序的累次积分来计算：

\[ I = \int_ {0} ^ {1} \mathrm{d} y \int_ {0} ^ {y} x ^ {2} \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \mathrm{d} x \]

\[ = \frac {1}{3} \int_ {0} ^ {1} y ^ {3} \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \mathrm{d} y \]

\[ = - \frac {1}{6} \int_ {0} ^ {1} y ^ {2} d \left(e ^ {- y ^ {2}}\right) \]

\[ = - \frac {1}{6} \left(y ^ {2} \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \Big | _ {0} ^ {1} - \int_ {0} ^ {1} 2 y \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \mathrm{d} y\right) \]

\[ = - \frac {1}{6} \left(\mathrm{e} ^ {- 1} + \left. \mathrm{e} ^ {- y ^ {2}} \right| _ {0} ^ {1}\right) = \frac {1}{6} - \frac {1}{3 \mathrm{e}}. \]

例 (3)

计算二重积分 \(\iint_{D} \mathrm{d}\sigma\) ，其中 \(D\) 为由直线 \(y = 2x, x = 2y\) 及 \(x + y = 3\) 所围的三角形区域（图 21-7）.

解 当把 D 看作 x 型区域时，相应的

\[ y _ {1} (x) = \frac {x}{2}, \quad y _ {2} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 3 - x, & 1 < x \leq 2. \end{array} \right. \]

所以

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \mathrm{d} \sigma = \iint_ {D _ {1}} \mathrm{d} \sigma + \iint_ {D _ {2}} \mathrm{d} \sigma = \int_ {0} ^ {1} \mathrm{d} x \int_ {\frac {x}{2}} ^ {2 x} \mathrm{d} y + \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {\frac {x}{2}} ^ {3 - x} \mathrm{d} y \\ = \int_ {0} ^ {1} \left(2 x - \frac {x}{2}\right) \mathrm{d} x + \int_ {1} ^ {2} \left(3 - x - \frac {x}{2}\right) \mathrm{d} x \\ = \left[ \frac {3}{4} x ^ {2} \right] _ {0} ^ {1} + \left[ 3 x - \frac {3}{4} x ^ {2} \right] _ {1} ^ {2} \\ = \frac {3}{2}. \\ \end{array} \]

例 (4)

求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V.

解 设圆柱底面半径为 a，两个圆柱方程为

\[ x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \text {与} x ^ {2} + z ^ {2} = a ^ {2}. \]

利用对称性，只要求出在第一卦限 (即 \(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\)) 部分 (见第十章图 10-10) 的体积，然后再乘以 8 即得所求的体积.

第一卦限部分的立体是一曲顶柱体，曲顶为 \(z = \sqrt{a^2 - x^2}\) ，底为四分之一圆域

\[ D: \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq y \leq \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} \\ 0 \leq x \leq a \end{array} \right. \]

所以它的体积为

\[ \begin{array}{l} \frac {1}{8} V = \iint_ {D} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} \mathrm{d} \sigma \\ = \int_ {0} ^ {a} d x \int_ {0} ^ {\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} \mathrm{d} y \\ = \int_ {0} ^ {a} \left(a ^ {2} - x ^ {2}\right) \mathrm{d} x = \frac {2}{3} a ^ {3}. \\ \end{array} \]

于是

\[ V = \frac {1 6}{3} a ^ {3}. \]

在一般区域上二重积分的计算

边界为分段光滑曲线的有界闭域，一般可把它分解成有限个除边界外无公共内点的 \(x\) 型区域或 \(y\) 型区域.

如图 21-8 所示，D 被分解成三个区域，其中 I, III 为 x 型区域，II 为 y 型区域.

例 (5)

设 \(D = \{(x,y)\mid 2x\leq x^2 +y^2\leq 4x\} ,f(x,y)\) 为 \(D\) 上的连续函数，试将二重积分

\[ I = \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

化为不同顺序的累次积分.

解 (1) 先对 \(y\) 积分，再对 \(x\) 积分.

为此设 \(D = D_{1} \cup D_{2} \cup D_{3}\) (见图 21-9), 其中

\[ D _ {1} = \left\{(x, y) \mid \sqrt {2 x - x ^ {2}} \leq y \leq \sqrt {4 x - x ^ {2}}, 0 \leq x \leq 2 \right\}, \]

\[ D _ {2} = \left\{(x, y) \mid - \sqrt {4 x - x ^ {2}} \leq y \leq - \sqrt {2 x - x ^ {2}}, 0 \leq x \leq 2 \right\}, \]

\[ D _ {3} = \left\{(x, y) \mid - \sqrt {4 x - x ^ {2}} \leq y \leq \sqrt {4 x - x ^ {2}}, 2 \leq x \leq 4 \right\}. \]

所以有

\[ \begin{array}{l} I = \int_ {0} ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {\sqrt {2 x - x ^ {2}}} ^ {\sqrt {4 x - x ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} y + \int_ {0} ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {- \sqrt {4 x - x ^ {2}}} ^ {- \sqrt {2 x - x ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} y \\ + \int_ {2} ^ {4} \mathrm{d} x \int_ {- \sqrt {4 x - x ^ {2}}} ^ {\sqrt {4 x - x ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} y \\ \end{array} \]

(2) 先对 \(x\) 积分，再对 \(y\) 积分。类似地有:

\[ D = G _ {1} \cup G _ {2} \cup G _ {3} \cup G _ {4}, (\text {见图} 2 1 - 1 0) \]

\[ I = \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} y \int_ {2 - \sqrt {4 - y ^ {2}}} ^ {2 + \sqrt {4 - y ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} x + \int_ {- 1} ^ {1} \mathrm{d} y \int_ {2 - \sqrt {4 - y ^ {2}}} ^ {1 - \sqrt {1 - y ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} x \]

\[ + \int_ {- 1} ^ {1} \mathrm{d} y \int_ {1 + \sqrt {1 - y ^ {2}}} ^ {2 + \sqrt {4 - y ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} x + \int_ {- 2} ^ {- 1} \mathrm{d} y \int_ {2 - \sqrt {4 - y ^ {2}}} ^ {2 + \sqrt {4 - y ^ {2}}} f (x, y) \mathrm{d} x \]

例 (6)

计算 \(\iint_{D}\left|xy - \frac{1}{4}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\) 其中 \(D = [0,1]\times [0,1]\)

解记

\[ D _ {1} = \left\{(x, y) \mid x y - \frac {1}{4} \geq 0 \right\} \cap D, \]

\[ D _ {2} = \left\{(x, y) \mid x y - \frac {1}{4} \leq 0 \right\} \cap D. \]

则又有 \(D_{1}=\left\{(x,y)\mid\frac{1}{4x}\leq y\leq1,\frac{1}{4}\leq x\leq1\right\}\) ,

\[ D _ {2} = \left[ 0, \frac {1}{4} \right] \times [ 0, 1 ] \bigcup \left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac {1}{4 x}, \frac {1}{4} \leq x \leq 1 \right\}. \]

\[ \iint_ {D} \left| x y - \frac {1}{4} \right| \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {D _ {1}} \left(x y - \frac {1}{4}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y + \iint_ {D _ {2}} \left(\frac {1}{4} - x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

\[ = \int_ {1 / 4} ^ {1} \mathrm{d} x \int_ {1 / 4 x} ^ {1} \left(x y - \frac {1}{4}\right) \mathrm{d} y + \int_ {0} ^ {1 / 4} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {1} \left(\frac {1}{4} - x y\right) \mathrm{d} y \]

\[ + \int_ {1 / 4} ^ {1} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {1 / 4 x} \left(\frac {1}{4} - x y\right) \mathrm{d} y \]

\[ = \int_ {1 / 4} ^ {1} \left(\frac {x}{2} - \frac {1}{4} + \frac {1}{3 2 x}\right) d x + \int_ {0} ^ {1 / 4} \left(\frac {1}{4} - \frac {x}{2}\right) d x + \int_ {1 / 4} ^ {1} \frac {1}{3 2 x} d x \]

\[ = \left(\frac {3}{6 4} + \frac {1}{1 6} \ln 2\right) + \frac {3}{6 4} + \frac {1}{1 6} \ln 2 \]

\[ = \frac {3}{3 2} + \frac {1}{8} \ln 2. \]

复习思考题

1. 若可求面积的区域 D 满足条件:

\[ \forall (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y}) \in D \Leftrightarrow (- x, y) \in D \]

又设 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上可积。证明：

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 2 \iint_ {D _ {1}} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

其中 \(D_{1}=\left\{(x,y)\mid x\in\mathbf{R}_{+}\right\}\cap D.\)

复习思考题

1. 设 \(f(x,y)\) 是区域 \(D=[a,b]\times[c,d]\) 上的可积函数.

\[ \forall (x, y) \in D, F (x, y) = \iint_ {D _ {x, y}} f (u, v) \mathrm{d} u \mathrm{d} v \]

其中 \(D_{x,y} = [a, x] \times [c, y]\) . 证明:

\[ {\frac {\partial^ {2} F}{\partial x \partial y}} = {\frac {\partial^ {2} F}{\partial y \partial x}} = f (x, y) \]

习题

P. 226

1 单、2、3 单

上次课内容复习

\[ \lim _ {n \to \infty} \frac {1}{n ^ {2}} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} \left(\frac {i}{n}\right) \left(\frac {j}{n}\right) = ? \]

补充：外微分形式：d 和 ^

d 就是以前的 d，只不过在高维形式下表现出一些特殊的性质

最重要性质：

例：

\(\omega = Pdx + Qdy\) : 一次外微分（普通的微分形式）

\(\omega = A dx \wedge dy\) : 二次外微分

例

\[ \lambda = A d x + B d y + C d z, \]

\[ \mu = E d x + F d y + G d z, \]

则

\[ \begin{array}{l} \lambda \wedge \mu = (A d x + B d y + C d z) \wedge (E d x + F d y + G d z) \\ = A E d x \wedge d x + B E d y \wedge d x + C E d z \wedge d x \\ + A F d x \wedge d y + B F d y \wedge d y + C F d z \wedge d y \\ + A G d x \wedge d z + B G d y \wedge d z + C G d z \wedge d z. \\ \end{array} \]

i.e.,

\[ \lambda \wedge \mu = (B G - C F) d y \wedge d z + (C E - A G) d z \wedge d x + (A F - B E) d x \wedge d y. \]

§3 格林公式・曲线积分与路线的无关性

在计算定积分时，牛顿 - 莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系；

本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.

格林公式

设区域 D 的边界 L 是由一条或几条光滑曲线所组成.

边界曲线的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域 D 总在它的左边，如图 21-10 所示.

与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为 \(L^{-}\) .

定理（格林公式）

若函数 \(P(x,y), Q(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上有连续的一阶偏导数，则有

\[ \boxed {\iint_ {D} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y} \]

这里 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向。公式 (1) 称为格林公式.

证 根据区域 D 的不同形状，这里对以下三种情形作出证明:

(i) 若 \(D\) 既是 \(\pmb{x}\) 型又是 \(y\) 型区域 (图 21-11), 则 \(\pmb{D}\) 可表为

\[ \varphi_ {1} (x) \leq y \leq \varphi_ {2} (x), a \leq x \leq b, \]

又可表为

\[ \psi_ {1} (y) \leq x \leq \psi_ {2} (y), \alpha \leq y \leq \beta . \]

这里 \(y = \varphi_{1}(x)\) 和 \(y = \varphi_{2}(x)\) 分别为曲线 \(ACB\) 和 \(AEB\) 的方程，而 \(x = \psi_{1}(y)\) 和 \(x = \psi_{2}(y)\) 则分别是曲线 \(CAE\) 和 \(CBE\) 的方程.

于是，

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \frac {\partial Q}{\partial x} \mathrm{d} \sigma = \int_ {\alpha} ^ {\beta} \mathrm{d} y \int_ {\psi_ {1} (y)} ^ {\psi_ {2} (y)} \frac {\partial Q}{\partial x} \mathrm{d} x \\ = \int_ {\alpha} ^ {\beta} Q (\psi_ {2} (y), y) d y - \int_ {\alpha} ^ {\beta} Q (\psi_ {1} (y), y) d y \\ = \int_ {C B E} Q (x, y) \mathrm{d} y - \int_ {C A E} Q (x, y) \mathrm{d} y \\ = \int_ {C B E} Q (x, y) \mathrm{d} y + \int_ {E A C} Q (x, y) \mathrm{d} y \\ = \oint_ {L} Q (x, y) \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

同理又可证得

\[ - \iint_ {D} \frac {\partial P}{\partial y} \mathbf {d} \sigma = \oint_ {L} P (x, y) \mathrm{d} x. \]

将上述两个结果相加即得

\[ \iint_ {D} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

(ii) 若区域 \(D\) 是由一条按段光滑的闭曲线围成，且可用几段光滑曲线将 \(D\) 分成有限个既是 \(x\) 型又是 \(y\) 型的子区域，则可逐块按 (i) 得到它们的格林公式，然后相加即可.

如图 21-12 所示的区域 \(D\) ，可将它分成三个既是 \(\pmb{x}\) 型又是 \(y\) 型的区域 \(D_{1}, D_{2}, D_{3}\) . 于是

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) d \sigma \\ = \iint_ {D _ {1}} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) d \sigma + \iint_ {D _ {2}} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) d \sigma + \iint_ {D _ {3}} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) d \sigma \\ = \oint_ {L _ {1}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + \oint_ {L _ {2}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + \oint_ {L _ {3}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

(iii) 若区域 \(D\) 由几条闭曲线所围成，如图 21-13 所示。这时可适当添加线段 \(\overline{AB}, \overline{CE}\) , 把区域化为 (ii) 的情形来处理。在图 21-13 中添加了 \(\overline{AB}, \overline{CE}\) 后，

D 的边界则由 \(\overline{AB}, L_{2}, \overline{BA}, AFC, \overline{CE}, L_{3}, \overline{EC}\) 及 CGA 构成。由 (ii) 知

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) \mathbf {d} \sigma \\ = \left\{\int_ {\overline {{A B}}} + \int_ {L _ {2}} + \int_ {\overline {{B A}}} + \int_ {\overline {{A F C}}} + \int_ {\overline {{C E}}} + \int_ {L _ {3}} + \int_ {\overline {{E C}}} + \int_ {E _ {G A}} \right\} (P d x + Q d y) \\ = \left(\oint_ {L _ {2}} + \oint_ {L _ {3}} + \oint_ {L _ {1}}\right) (P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y) = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

注 1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 x 型又是 y 型区域的并集，例如由

\[ y = x ^ {3} \sin \frac {1}{x}, x \in (0, 1 ]; y = - 1; x = 0; x = 1 \]

所围成的区域便是如此.

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) \mathbf {d} \sigma \\ = \left\{\int_ {\overline {{A B}}} + \int_ {L _ {2}} + \int_ {\overline {{B A}}} + \int_ {\overline {{A F C}}} + \int_ {\overline {{C E}}} + \int_ {L _ {3}} + \int_ {\overline {{E C}}} + \int_ {E _ {G A}} \right\} (P d x + Q d y) \\ = \left(\oint_ {L _ {2}} + \oint_ {L _ {3}} + \oint_ {L _ {1}}\right) (P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y) = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

注 1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 \(x\) 型又是 \(y\) 型区域的并集，例如由

\[ y = x ^ {3} \sin \frac {1}{x}, x \in (0, 1 ]; y = - 1; x = 0; x = 1 \]

所围成的区域便是如此.

注 2 为便于记忆，格林公式 (1) 也可写成下述形式:

\[ \iint_ {D} \left| \begin{array}{c c} \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{array} \right| d \sigma = \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

注 3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算。请看以下二例:

例 (1)

计算 \(\int_{AB} x \, \mathrm{d}y\) ，其中曲线 \(AB\) 是半径为 \(r\) 的圆在第一象限部分（图 21-14）.

解 对半径为 r 的四分之一圆域 D，应用格林公式:

\[ \begin{array}{l} - \iint_ {D} \mathrm{d} \sigma = \oint_ {L ^ {-}} x \mathrm{d} y \\ = \int_ {\overline {{O A}}} x \mathrm{d} y + \int_ {A B} x \mathrm{d} y + \int_ {\overline {{B O}}} x \mathrm{d} y. \\ \end{array} \]

由于 \(\int_{\overline{OA}}x\mathrm{d}y = 0,\int_{\overline{BO}}x\mathrm{d}y = 0,\) 因此

\[ \int_ {A B} x \mathrm{d} y = - \iint_ {D} \mathrm{d} \sigma = - \frac {1}{4} \pi r ^ {2} \]

例 (2)

计算

\[ I = \oint_ {L} \frac {x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x}{x ^ {2} + y ^ {2}}, \]

其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界线.

解 因为

\[ \frac {\partial}{\partial x} \left(\frac {x}{x ^ {2} + y ^ {2}}\right) = \frac {y ^ {2} - x ^ {2}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}, \quad \frac {\partial}{\partial y} \left(\frac {- y}{x ^ {2} + y ^ {2}}\right) = \frac {y ^ {2} - x ^ {2}}{(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}} \]

于是，由格林公式

\[ \begin{array}{l} \oint_ {L} \frac {x \mathrm{d} \boldsymbol {y} - \boldsymbol {y} \mathrm{d} \boldsymbol {x}}{\boldsymbol {x} ^ {2} + \boldsymbol {y} ^ {2}} \\ = \iint_ {D} \left[ \frac {\partial}{\partial \boldsymbol {x}} \left(\frac {x}{\boldsymbol {x} ^ {2} + \boldsymbol {y} ^ {2}}\right) - \frac {\partial}{\partial \boldsymbol {y}} \left(\frac {- y}{\boldsymbol {x} ^ {2} + y ^ {2}}\right) \right] d \sigma = 0 \quad \square \\ \end{array} \]

在格林公式中，令 P = -y, Q = x, 则得到一个计算平面区域 D 的面积 \(S_{D}\) 的公式:

\[ S _ {D} = \iint_ {D} \mathrm{d} \sigma = \frac {1}{2} \oint_ {L} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x. \]

例 (3)

计算抛物线 \((x + y)^2 = ax (a > 0)\) 与 \(x\) 轴所围图形的面积（图 21-15）.

解 曲线 AMO 由函数

\[ y = \sqrt {a x} - x, \quad x \in [ 0, a ] \]

表示

常规算法

\[ \begin{array}{l} S = \int_ {0} ^ {a} (\sqrt {a x} - x) d x \\ = \int_ {0} ^ {a} \sqrt {a x} d x - \int_ {0} ^ {a} x d x \\ = \sqrt {a} \int_ {0} ^ {a} x ^ {1 / 2} d x - \frac {1}{2} a ^ {2} \\ = \sqrt {a} \cdot \frac {2}{3} a ^ {3 / 2} - \frac {1}{2} a ^ {2} \\ = \frac {2}{3} a ^ {2} - \frac {1}{2} a ^ {2} \\ = \frac {1}{6} a ^ {2}. \\ \end{array} \]

格林公式的算法

\[ \begin{array}{l} S _ {D} = \frac {1}{2} \oint x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \int_ {\overline {{O N A}}} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x + \frac {1}{2} \int_ {A M O} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \int_ {A M O} x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \int_ {a} ^ {0} \left[ x \left(\frac {a}{2 \sqrt {a x}} - 1\right) - (\sqrt {a x} - x) \right] d x \\ = \frac {1}{2} \int_ {a} ^ {0} \left(- \frac {1}{2} \sqrt {a x}\right) \mathrm{d} x = \frac {\sqrt {a}}{4} \int_ {0} ^ {a} \sqrt {x} \mathrm{d} x = \frac {1}{6} a ^ {2}. \\ \end{array} \]

曲线积分与路径的无关性

在第二十章 §2 中计算第二型曲线积分的开始两个例子中，

例 1 以 A 为起点 B 为终点的曲线积分，若所沿的路线不同，则其积分值也不同.

但例 2 中的曲线积分值只与起点和终点有关，与路线的选取无关.

本段将讨论曲线积分在什么条件下，它的值与所沿路线的选取无关.

首先介绍单连通区域的概念.

若对于平面区域 \(D\) 内任一封闭曲线，皆可不经过 \(D\) 以外的点而连续收缩于属于 \(D\) 的某一点，则称此平面区域为单连通区域；否则称为复连通区域.

\(D_{1}\) 与 \(D_{2}\) 是单连通区域，而 \(D_{3}\) 与 \(D_{4}\) 则是复连通区域.

单连通区域也可以这样叙述: D 内任一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点。更通俗地说，单连通区域就是没有 “洞” 的区域，复连通区域则是有 “洞” 的区域。

定理 (21.12)

设 \(D\) 是单连通闭区域。若函数 \(P(x,y), Q(x,y)\) 在 \(\pmb{D}\) 内连续，且具有一阶连续偏导数。则以下四个条件等价:

(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L，有

\[ \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = 0; \]

(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L，曲线积分

\[ \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \]

与路线无关，只与 L 的起点及终点有关；

(iii) \(P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\) 是 \(D\) 内某一函数 \(u(x,y)\) 的全微分，即在 \(D\) 内有 \(\mathrm{d}u = P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y\) ; (iv) 在 \(D\) 内处处成立 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) .

证 (i)⇒ (ii) 如图 21-17, 设 \(ARB\) 与 \(ASB\) 为联结点 \(A, B\) 的任意两条按段光滑曲线，由 (i) 可推得

\[ \begin{array}{l} \int_ {A R B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y - \int_ {A S B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ = \int_ {A R B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + \int_ {B S A} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ = \oint_ {A R B S A} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = 0 \\ \end{array} \]

所以 \(\int_{ARB} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y = \int_{ASB} P \, \mathrm{d}x + Q \, \mathrm{d}y.\)

(ii) \(\Rightarrow\) (iii) 设 \(A(x_0, y_0)\) 为 \(D\) 内某一定点，\(B(x, y)\) 为 \(D\) 内任意一点。由 (ii), 曲线积分

\[ \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \]

与路线的选择无关，故当 \(B(x,y)\) 在 D 内变动时，其积分值是 \(B(x,y)\) 的函数，即有

\[ u (x, y) = \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

取 \(\Delta x\) 充分小，使 \(C(x + \Delta x, y) \in D\) , 则函数 \(u(x, y)\) 对于 \(x\) 的偏增量 (图 21-18)

\[ \begin{array}{l} \Delta_ {x} u = u (x + \Delta x, y) - u (x, y) \\ = \int_ {A C} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y - \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ \end{array} \]

因为在 \(D\) 内曲线积分与路线无关，所以

\[ \int_ {A C} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = \int_ {A B} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + \int_ {\overline {{B C}}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \]

因直线段 \(BC\) 平行于 \(x\) 轴，故 \(\mathrm{dy} = 0\) , 从而由积分中值定理可得

\[ \begin{array}{l} \Delta_ {x} u = \int_ {\overline {{B C}}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ = \int_ {x} ^ {x + \Delta x} P (t, y) \mathrm{d} t = P (x + \theta \Delta x, y) \Delta x \\ \end{array} \]

其中 \(0 \leq \theta \leq 1\) . 根据 \(P(x, y)\) 在 \(D\) 上连续，于是有

\[ \frac {\partial u}{\partial x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta_ {x} u}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} P (x + \theta \Delta x, y) = P (x, y). \]

同理可证 \(\frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y)\) . 所以证得

\[ \mathrm{d} u = P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

\[ \begin{array}{l} \Delta_ {x} u = \int_ {\overline {{B C}}} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y \\ = \int_ {x} ^ {x + \Delta x} P (t, y) \mathrm{d} t = P (x + \theta \Delta x, y) \Delta x \\ \end{array} \]

其中 \(0 \leq \theta \leq 1\) . 根据 \(P(x, y)\) 在 \(D\) 上连续，于是有

\[ \frac {\partial u}{\partial x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta_ {x} u}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} P (x + \theta \Delta x, y) = P (x, y). \]

同理可证 \(\frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y)\) . 所以证得

\[ \mathrm{d} u = P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y. \]

(iii) \(\Rightarrow\) (iv) 设存在函数 \(u(x,y)\) , 使得 \(\mathrm{du} = P\mathrm{dx} + Q\mathrm{dy}\) , 因此 \(P(x,y) = u_x(x,y), Q(x,y) = u_y(x,y)\) . 于是由

\[ \frac {\partial P}{\partial y} = u _ {x y} (x, y), \frac {\partial Q}{\partial x} = u _ {y x} (x, y), \]

以及 \(P, Q\) 具有一阶连续偏导数，便可知道在 \(D\) 内每一点处都有 \(u_{xy}(x, y) = u_{yx}(x, y)\) ，即 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) .

(iv) \(\Rightarrow\) (i) 设 \(L\) 为 \(D\) 内任一按段光滑封闭曲线，记 \(\pmb{L}\) 所围的区域为 \(\sigma\) . 由于 \(D\) 为单连通区域，所以区域 \(\sigma\) 含在 \(D\) 内。应用格林公式及在 \(D\) 内恒有 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) 的条件，就得到

\[ \oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y = \iint_ {\sigma} \left(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma = 0. \]

上面我们将四个条件循环推导了一遍，这就证明了它们是相互等价的.

应用定理 21.12 中的条件 (iv), 考察第二十章 §2 中的例 1 与例 2.

例 1 中 \(P(x,y)=xy, Q(x,y)=y-x\) . 由于 \(\frac{\partial P}{\partial y}=x, \frac{\partial Q}{\partial x}=-1, \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}\) ，故积分与路线有关.

例 2 中 \(P(x,y)=y,\ Q(x,y)=x,\) 由于

\[ {\frac {\partial P}{\partial y}} = {\frac {\partial Q}{\partial x}} = 1 \]

所以积分与路线无关.

例 (4)

计算

\[ \int_ {L} \frac {(x - 0 . 5 - y) \mathrm{d} x + (x - 0 . 5 + y) \mathrm{d} y}{(x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2}}, \]

其中 L 为沿着右半圆周 \(x^{2} + y^{2} = 1 (x \geq 0)\) 由点 \(A(0, -1)\) 到点 \(D(0, 1)\) 的路径（见图）.

分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足与路径无关的条件，则可改变积分路径，使易于计算.

解记

\[ P (x, y) = \frac {x - 0 . 5 - y}{(x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2}}, \]

\[ Q (x, y) = \frac {x - 0 . 5 + y}{(x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2}}. \]

易知，除去点 \(E(0.5,0)\) 外，处处满足

\[ \frac {\partial Q}{\partial x} = \frac {\partial P}{\partial y} = \frac {- (x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2} + 2 y (x - 0 . 5)}{[ (x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2} ] ^ {2}}. \]

设 \(L_{1}\) 为由点 \(A(0, - 1)\) 到点 \(B(1, - 1)\) ，再到点 \(C(1,1)\) ，最后到点 \(D(0,1)\) 的折线段．因为 \(L\) 与 \(L_{1}\) 可被包含在某一不含奇点 \(\pmb{E}\) 的单连通区域内，所以有

\[ \int_ {L} \frac {(x - 0 . 5 - y) \mathrm{d} x + (x - 0 . 5 + y) \mathrm{d} y}{(x - 0 . 5) ^ {2} + y ^ {2}} \]

\[ = \int_ {L _ {1}} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y \]

\[ = \left(\int_ {\overline {{A B}}} + \int_ {\overline {{B C}}} + \int_ {\overline {{C D}}}\right) P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y \]

\[ = \int_ {0} ^ {1} \frac {x + 0 . 5}{(x - 0 . 5) ^ {2} + 1} \mathrm{d} x + \int_ {- 1} ^ {1} \frac {y + 0 . 5}{y ^ {2} + 0 . 2 5} \mathrm{d} y + \int_ {1} ^ {0} \frac {x - 1 . 5}{(x - 0 . 5) ^ {2} + 1} \mathrm{d} x \]

\[ = 4 \arctan 0. 5 + 2 \arctan 2. \]

注 1 定理 21.12 中对 “单连通区域” 的要求是重要的.

如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 \(L_{2}\) ，虽然算起来很简单，但却不可用.

因为任何包含 L 与 \(L_{2}\) 的单连通区域必定含有奇点 E.

又如本节例 2，对任何不包含原点的单连通区域，已证得在这个区域内的任何封闭曲线 \(L\) 上，皆有

\[ \oint_ {L} \frac {x d y - y d x}{x ^ {2} + y ^ {2}} = 0 \tag {3} \]

倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线，则函数

\[ P (x, y) = \frac {- y}{x ^ {2} + y ^ {2}}, Q (x, y) = \frac {x}{x ^ {2} + y ^ {2}} \]

只在剔除原点外的任何区域 \(D\) 上有定义，所以 \(L\) 必含在某个复连通区域内。这时它不满足定理 21.12 的条件，因而就不能保证 (3) 式成立。

事实上，若取 \(L\) 为绕原点一周的圆

\[ L: x = a \cos \theta , y = a \sin \theta (0 \leq \theta \leq 2 \pi), \]

则有

\[ \oint_ {L} \frac {x \mathrm{d} y - y \mathrm{d} x}{x ^ {2} + y ^ {2}} = \int_ {0} ^ {2 \pi} \frac {a ^ {2} \cos^ {2} \theta + a ^ {2} \sin^ {2} \theta}{a ^ {2}} \mathrm{d} \theta = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta = 2 \pi . \]

注 2 若 \(P(x,y)\) , \(Q(x,y)\) 满足定理 21.12 的条件，则由上述证明可看到二元函数

\[ \begin{array}{l} u (x, y) = \int_ {A B} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y \\ = \int_ {A (x _ {0}, y _ {0})} ^ {B (x, y)} P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y \\ \end{array} \]

具有性质

\[ \mathrm{d} u (x, y) = P (x, y) \mathrm{d} x + Q (x, y) \mathrm{d} y. \]

我们也称 \(u(x,y)\) 为 \(P\,dx+Q\,dy\) 的一个原函数.

例 (5)

试应用曲线积分求 \((2x + \sin y)\mathrm{d}x + (x\cos y)\mathrm{d}y\) 的原函数.

解 这里 \(P(x,y) = 2x + \sin y, Q(x,y) = x\cos y,\) 在整个平面上成立

\[ {\frac {\partial P}{\partial y}} = {\frac {\partial Q}{\partial x}} = \cos y. \]

由定理 21.12, 曲线积分

\[ \int_ {A B} (2 x + \sin y) \mathrm{d} x + (x \cos y) \mathrm{d} y \]

只与起点 \(A\) 和终点 \(B\) 有关，而与路线的选择无关。为此，取 \(O(0,0), B(x,y)\) , 取路线为图中的折线段 \(OCB\) .

于是有

\[ \begin{array}{l} u (x, y) = \int_ {0} ^ {x} 2 t d t + \int_ {0} ^ {y} x \cos s \mathrm{d} s \\ = x ^ {2} + x \sin y + C \\ \end{array} \]

注 由例 4 可见，若

\[ [ x _ {0}, x ] \times [ y _ {0}, y ] \subset D, \]

则求全微分的原函数可用公式

\[ u (x, y) = \int_ {x _ {0}} ^ {x} P (t, y _ {0}) \mathrm{d} t + \int_ {y _ {0}} ^ {y} Q (x, s) \mathrm{d} s \]

或 \(u(x,y) = \int_{x_0}^{x}P(t,y)\mathrm{d}t + \int_{y_0}^{y}Q(x_0,s)\mathrm{d}s.\)

下例介绍用 “凑微分” 法求全微分的原函数.

于是有

\[ \begin{array}{l} u (x, y) = \int_ {0} ^ {x} 2 t d t + \int_ {0} ^ {y} x \cos s \mathrm{d} s \\ = x ^ {2} + x \sin y + C \\ \end{array} \]

注 由例 4 可见，若

\[ [ x _ {0}, x ] \times [ y _ {0}, y ] \subset D, \]

则求全微分的原函数可用公式

\[ u (x, y) = \int_ {x _ {0}} ^ {x} P (t, y _ {0}) \mathrm{d} t + \int_ {y _ {0}} ^ {y} Q (x, s) \mathrm{d} s \]

或 \(u(x,y)=\int_{x_{0}}^{x}P(t,y)\mathrm{d}t+\int_{y_{0}}^{y}Q(x_{0},s)\mathrm{d}s.\)

下例介绍用 “凑微分” 法求全微分的原函数.

例 (6)

求全微分

\[ I = \left(\frac {1}{y} + x - y \sin x y\right) \mathrm{d} x + \left(y ^ {2} - \frac {x}{y ^ {2}} - x \sin x y\right) \mathrm{d} y \]

的原函数 \(u(x,y)\) .

解 由于

\[ \begin{array}{l} \frac {\partial}{\partial y} \left(\frac {1}{y} + x - y \sin x y\right) = \frac {\partial}{\partial x} \left(y ^ {2} - \frac {x}{y ^ {2}} - x \sin x y\right) \\ { = } { - \frac { 1 } { y ^ { 2 } } - \sin x y - x y \cos x y , } \\ \end{array} \]

因此 \(I\) 是某个函数 \(u(x,y)\) 的全微分。由

\[ \left(\frac {1}{y} + x - y \sin x y\right) \mathrm{d} x + \left(y ^ {2} - \frac {x}{y ^ {2}} - x \sin x y\right) \mathrm{d} y \]

\[ = \left(x \mathrm{d} x + y ^ {2} \mathrm{d} y\right) + \left(\frac {1}{y} \mathrm{d} x - \frac {x}{y ^ {2}} \mathrm{d} y\right) + (- y \sin x y \mathrm{d} x - x \sin x y \mathrm{d} y) \]

\[ = \mathrm{d} \left(\frac {1}{2} x ^ {2} + \frac {1}{3} y ^ {3}\right) + \mathrm{d} \left(\frac {x}{y}\right) + \mathrm{d} (\cos x y) \]

\[ = \mathrm{d} \left(\frac {1}{2} x ^ {2} + \frac {1}{3} y ^ {3} + \frac {x}{y} + \cos x y\right), \quad \text {可见} \]

\[ u (x, y) = \frac {1}{2} x ^ {2} + \frac {1}{3} y ^ {3} + \frac {x}{y} + \cos x y + C, \]

其中 C 为任意常数.

复习思考题

验证格林公式的另一形式:

\[ \iint_ {D} \left(\frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \oint_ {\partial D} [ P \cos (\boldsymbol {n}, \boldsymbol {x}) + Q \cos (\boldsymbol {n}, \boldsymbol {y}) ] d s \]

其中 n 是 D 的边界 \(\partial D\) 上任一点处的外法线向量.

作业

P. 234

1

5 单

往年考题

5、给定点 \(O(0,0)\) 和 \(A(1,1)\) ，若曲线积分 \(\int_{OA}(ax\cos y-y^{2}\sin x)dx+(by\cos x-x^{2}\sin y)dy\) 与路径选择无关，则 a,b 分别取值为 ____

往年考题

计算第二型曲线积分

\[ \int_ {L} (x + e ^ {\sin y}) d y + (\frac {1}{2} - y) d x \]

其中曲线 L 是由第一象限中的直线段 \(x + y = 1\) 与第二象限中的圆弧 \(x^{2} + y^{2} = 1\) 构成，其方向由 \(A(1,0)\) 到 \(B(0,1)\) 再到 \(C(-1,0)\) 。

往年考题

解：设由线段 AB.

弧 BC. 及线段 CA

围成的区域为 D

由格林公式，知

\[ \int_ {\partial D ^ {+}} (\frac {1}{2} - y) d x + (x + e ^ {\sin y}) d y \]

\[ = \iint_ {D} \left[ \frac {\partial}{\partial x} (x + e ^ {\sin y}) - \frac {\partial}{\partial y} (\frac {1}{2} - y) \right] d x d y \]

\[ = 2 \iint_ {D} d x d y = 2 (\frac {\pi}{4} + \frac {1}{2}) = \frac {\pi}{2} + 1 3 \]

\[ \int_ {C A} (\frac {1}{2} - y) d x + (x + e ^ {\sin y}) d y \]

\[ = \int_ {- 1} ^ {1} \frac {1}{2} d x = 1 3 ^ {\prime} \]

\[ \mathrm{故} \int_ {L} (\frac {1}{2} - y) d x + (x + e ^ {\sin y}) d x \]

\[ \begin{array}{r l} & {= \int_ {\partial D ^ {+}} (\frac {1}{2} - y) d x + (x + e ^ {\sin y}) d y} \\ & {- \int_ {C A} (\frac {1}{2} - y) d x + (x + e ^ {\sin y}) d y} \\ & {= \frac {\pi}{2}} \end{array} \]

§4 二重积分的变量变换

二重积分是定积分在平面上的推广

不同之处：定积分定义在区间上，区间的长度容易计算，而二重积分定义在平面区域上，其面积的计算要复杂得多.

二重积分的变量变换公式

在定积分的计算中，我们得到了如下结论:

设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，\(x = \varphi(t)\) 当 \(t\) 从 \(\alpha\) 变到 \(\beta\) 时严格单调地从 \(a\) 变到 \(b\) , 且 \(\varphi(t)\) 连续可导，则

\[ \int_ {a} ^ {b} f (x) \mathrm{d} x = \int_ {\alpha} ^ {\beta} f (\varphi (t)) \varphi^ {\prime} (t) \mathrm{d} t. \tag {1} \]

当 \(\alpha < \beta\) （即 \(\varphi'(t) > 0\) ）时，记 \(X = [a, b], Y = [\alpha, \beta]\) ，则 \(X = \varphi(Y), Y = \varphi^{-1}(X)\) . 利用这些记号，公式 (1) 又可写成

\[ \int_ {X} f (x) \mathrm{d} x = \int_ {\varphi^ {- 1} (X)} f (\varphi (t)) \varphi^ {\prime} (t) \mathrm{d} t \tag {2} \]

当 \(\alpha > \beta\) (即 \(\varphi'(t) < 0\)) 时，(1) 式可写成

\[ \int_ {X} f (x) \mathrm{d} x = - \int_ {\varphi^ {- 1} (X)} f (\varphi (t)) \varphi^ {\prime} (t) \mathrm{d} t. \tag {3} \]

故当 \(\varphi(t)\) 为严格单调且连续可微时，(2) 式和 (3) 式可统一写成如下的形式：

\[ \int_ {X} f (x) \mathrm{d} x = \int_ {\varphi^ {- 1} (X)} f (\varphi (t)) | \varphi^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t. \tag {4} \]

下面要把公式 (4) 推广到二重积分的场合。为此先给出下面的引理.

引理

设（1）变换 \(T: x = x(u, v), y = y(u, v)\) 将 \(uv\) 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 \(\Delta\) ，一对一地映成 \(xy\) 平面上的闭区域 \(D\) .

(2) 函数 \(x(u, v), y(u, v)\) 在 \(\Delta\) 内分别具有一阶连续偏导数，且它们的函数行列式

\[ J (u, v) = \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \neq 0, \quad (u, v) \in \Delta , \]

则区域 \(D\) 的面积

\[ \mu (D) = \iint_ {\Delta} | J (u, v) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v \tag {5} \]

证 下面给出当 \(y(u,v)\) 在 \(\Delta\) 内具有二阶连续偏导数时的证明.

由于 \(T\) 是一对一变换，且 \(J(u,v)\neq 0\) ，因而 \(T\) 把 \(\Delta\) 的内点变为 \(D\) 的内点，所以 \(\Delta\) 的按段光滑边界曲线 \(L_{\Delta}\) 也变换为 \(D\) 的按段光滑边界曲线 \(\pmb{L}_{D}\) . 设曲线 \(L_{\Delta}\) 的参数方程为

\[ u = u (t), v = v (t) \quad (\alpha \leq t \leq \beta). \]

由于 \(L_{\Delta}\) 按段光滑，因此 \(u'(t), v'(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上至多除去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续.

又因 \(L_{D}=T(L_{\Delta})\) ，所以 \(L_{D}\) 的参数方程为

\[ \begin{array}{l} x = x (t) = x (u (t), v (t)) \\ \begin{array}{l l} w = w (t) = w (u (t), v (t)) & (\alpha \leq t \leq \beta). \\ y = y (t) = y (u (t), v (t)) \end{array} \\ \end{array} \]

若规定 t 从 \(\alpha\) 变到 \(\beta\) 时，对应于 \(L_{D}\) 的正向，则根据格林公式，取 \(P(x,y)=0, Q(x,y)=x\) , 有

\[ \begin{array}{l} \mu (D) = \oint_ {L _ {D}} x \mathrm{d} y = \int_ {\alpha} ^ {\beta} x (t) y ^ {\prime} (t) \mathrm{d} t \\ = \int_ {\alpha} ^ {\beta} x (u (t), v (t)) \left[ \frac {\partial y}{\partial u} u ^ {\prime} (t) + \frac {\partial y}{\partial v} v ^ {\prime} (t) \right] \mathrm{d} t. \tag {6} \\ \end{array} \]

另一方面，在 uv 平面上

\[ \oint_ {L _ {\Delta}} x (u, v) \left[ \frac {\partial y}{\partial u} \mathrm{d} u + \frac {\partial y}{\partial v} \mathrm{d} v \right] \]

\[ = \pm \int_ {\alpha} ^ {\beta} x (u (t), v (t)) \left[ \frac {\partial y}{\partial u} u ^ {\prime} (t) + \frac {\partial y}{\partial v} v ^ {\prime} (t) \right] \mathrm{d} t \tag {7} \]

其中正号及负号分别由 \(t\) 从 \(\alpha\) 变到 \(\beta\) 时，是对应于 \(L_{\Delta}\) 的正方向或负方向所决定。由 (6) 及 (7) 式得到

\[ \begin{array}{l} \mu (D) = \pm \oint_ {L _ {\Delta}} x (u, v) \left[ \frac {\partial y}{\partial u} \mathrm{d} u + \frac {\partial y}{\partial v} \mathrm{d} v \right] \\ = \pm \int_ {L _ {\Delta}} x (u, v) \frac {\partial y}{\partial u} \mathrm{d} u + x (u, v) \frac {\partial y}{\partial v} \mathrm{d} v. \\ \end{array} \]

令 \(P(u,v)=x(u,v)\frac{\partial y}{\partial u},Q(u,v)=x(u,v)\frac{\partial y}{\partial v}\) ，在 uv 平面上对上式应用格林公式，得到

\[ \mu (D) = \pm \iint_ {\Delta} \left(\frac {\partial Q}{\partial u} - \frac {\partial P}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \mathrm{d} v \]

由于函数 \(y(u,v)\) 具有二阶连续偏导数，即有 \(\frac{\partial^{2}y}{\partial u\partial v} = \frac{\partial^{2}y}{\partial v\partial u}\) ，因此 \(\frac{\partial Q}{\partial u} - \frac{\partial P}{\partial v} = J(u,v)\) ，于是

\[ \mu (D) = \pm \iint_ {\Delta} J (u, v) \mathrm{d} u \mathrm{d} v. \]

又因为 \(\mu(D)\) 总是非负的，而 \(J(u, v)\) 在 \(\triangle\) 上不为零且连续，故其函数值在 \(\triangle\) 上不变号，所以

\[ \mu (D) = \iint_ {\Delta} | J (u, v) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v. \]

定理 (21.13)

设 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上可积，变换 \(T: x = x(u,v), y = y(u,v)\) 将 \(uv\) 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 \(\Delta\) 一对一地映成 \(xy\) 平面上的闭区域 \(D\) , 函数 \(x(u,v), y(u,v)\) 在 \(\Delta\) 内分别具有一阶连续偏导数，且它们的函数行列式

\[ J (u, v) = \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \neq 0, \quad (u, v) \in \Delta \]

则有

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta} f (x (u, v), y (u, v)) | J (u, v) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v \]

证 用曲线网把 \(\Delta\) 分成 n 个小区域 \(\Delta_{i}\) ，在变换 T 作用下，区域 D 也相应地被分成 n 个小区域 \(D_{i}\) 。记 \(\Delta_{i}\) 及 \(D_{i}\) 的面积为 \(\mu(\Delta_{i})\) 及 \(\mu(D_{i})(i=1,2,\cdots,n)\) 。在对 y 的加强条件下，由引理及二重积分中值定理，有

\[ \mu (D _ {i}) = \iint_ {\Delta_ {i}} | J (u, v) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v = | J (\bar {u} _ {i}, \bar {v} _ {i}) | \mu (\Delta_ {i}), \]

其中 \((\bar{u}_{i},\bar{v}_{i})\in\Delta_{i}\;(i=1,2,\cdots,n)\) . 令 \(\xi_{i}=x(\bar{u}_{i},\bar{v}_{i}),\eta_{i}=y(\bar{u}_{i},\bar{v}_{i})\) ,

则 \((\xi_{i},\eta_{i})\in D_{i}(i=1,2,\cdots,n)\) .

作二重积分 \(\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{~d}y\) 的积分和

\[ \begin{array}{l} \sigma = \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}) \mu (D _ {i}) \\ = \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(x \left(\bar {u} _ {i}, \bar {v} _ {i}\right), y \left(\bar {u} _ {i}, \bar {v} _ {i}\right)\right) | J \left(\bar {u} _ {i}, \bar {v} _ {i}\right) | \mu (\Delta_ {i}). \\ \end{array} \]

这个和式是可积函数 \(f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|\) 在 \(\Delta\) 上的积分和。又由变换 T 的连续性可知，当 \(\Delta\) 的分割 \(T_{\Delta}:\{\Delta_{1},\Delta_{2},\cdots\Delta_{n}\}\) 的细度 \(\|T_{\Delta}\|\to0\) 时，D 的相应分割 \(T_{D}:\{D_{1},D_{2},\cdots,D_{n}\}\) 的细度 \(\|T_{D}\|\) 也趋于零。因此得到

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta} f (x (u, v), y (u, v)) | J (u, v) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v. \]

例 (1)

求 \(\iint_{D} \mathrm{e}^{\frac{x - y}{x + y}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\) ，其中 \(D\) 是由 \(x = 0, y = 0, x + y = 1\) 所围的区域 (图 21-23).

解 为了简化被积函数，令

\[ u = x - y, v = x + y. \]

即作变换

\[ T: x = \frac {1}{2} (u + v), y = \frac {1}{2} (v - u), \]

它的函数行列式为

\[ J (u, v) = \left| \begin{array}{c c} \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \\ - \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \end{array} \right| = \frac {1}{2} > 0. \]

在 T 的作用下，区域 D 的原象 \(\Delta\) 如图 21-24 所示。所以

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \mathrm{e} ^ {\frac {x - y}{x + y}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta} \mathrm{e} ^ {\frac {u}{v}} \cdot \frac {1}{2} \mathrm{d} u \mathrm{d} v \\ = \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {1} \mathrm{d} v \int_ {- v} ^ {v} \mathrm{e} ^ {\frac {u}{v}} \mathrm{d} u = \frac {1}{2} \int_ {0} ^ {1} v (\mathrm{e} - \mathrm{e} ^ {- 1}) \mathrm{d} v = \frac {e - e ^ {- 1}}{4}. \\ \end{array} \]

例 (2)

求抛物线 \(y^{2} = mx, y^{2} = nx\) 和直线 \(y = \alpha x, y = \beta x\) 所围区域 \(D\) 的面积 \(\mu(D)(0 < m < n, 0 < \alpha < \beta)\) .

解 D 的面积 \(\mu(D)=\iint_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\) 为了化简积分区域，作变换

\[ u = \frac {y ^ {2}}{x}, \qquad v = \frac {y}{x}. \]

那么四条边界就变成：u = m, u = n, v = \(\alpha\) , v = \(\beta\) .

于是区域 D 在 uv 平面中就是一个矩形： \(m \leq u \leq n, \quad \alpha \leq v \leq \beta.\)

雅可比行列式为

\[ \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} = \left| \begin{array}{c c} \frac {1}{v ^ {2}} & - \frac {2 u}{v ^ {3}} \\ \frac {1}{v} & - \frac {u}{v ^ {2}} \end{array} \right| = - \frac {u}{v ^ {4}} + \frac {2 u}{v ^ {4}} = \frac {u}{v ^ {4}}. \]

换元后 \(\mu(D)=\int_{m}^{n}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{u}{v^{4}}dudv.\)

先对 v 积分:

\[ \int_ {\alpha} ^ {\beta} v ^ {- 4} d v = \left[ - \frac {1}{3 v ^ {3}} \right] _ {\alpha} ^ {\beta} = \frac {1}{3} \left(\frac {1}{\alpha^ {3}} - \frac {1}{\beta^ {3}}\right). \]

再对 u 积分:

\[ \int_ {m} ^ {n} u d u = \frac {n ^ {2} - m ^ {2}}{2}. \]

因此

\[ \mu (D) = \frac {n ^ {2} - m ^ {2}}{6} \left(\frac {1}{\alpha^ {3}} - \frac {1}{\beta^ {3}}\right). \]

例 (3)

设 \(f(t)\) 在 \([1,2]\) 上可积，\(D\) 是由曲线

\[ x y = 1, x y = 2, y = x, y = 4 x \]

所围成的区域在第一象限中的部分。证明:

\[ \iint_ {D} f (\sqrt {x y}) \mathrm{d} \sigma = \ln 2 \int_ {1} ^ {2} f (\sqrt {t}) \mathrm{d} t. \]

证 令 \(t = xy, u = \frac{y}{x}\) (即 \(x = t^{1/2}u^{-1/2}, y = t^{1/2}u^{1/2}\)). 则 \(\forall(t, u) \in [1, 2] \times [1, 4]\) , 有

\[ J (t, u) = \left| \begin{array}{l l} \frac {1}{2} t ^ {- 1 / 2} u ^ {- 1 / 2} & - \frac {1}{2} t ^ {1 / 2} u ^ {- 3 / 2} \\ \frac {1}{2} t ^ {- 1 / 2} u ^ {1 / 2} & \frac {1}{2} t ^ {1 / 2} u ^ {- 1 / 2} \end{array} \right| = \frac {1}{2 u} \]

因此

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} f (\sqrt {x y}) \mathrm{d} \sigma = \iint_ {\Delta} f (\sqrt {t}) \cdot \frac {1}{2 u} \mathrm{d} t \mathrm{d} u \\ = \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} t \int_ {1} ^ {4} \frac {1}{2 u} f (\sqrt {t}) \mathrm{d} u \\ = \ln 2 \int_ {1} ^ {2} f (\sqrt {t}) d t. \\ \end{array} \]

二重积分的极坐标变换

当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 \(f(x^{2} + y^{2})\) 时，采用极坐标变换

\[ T: \left\{ \begin{array}{l l} x = r \cos \theta , & 0 \leq r < + \infty , 0 \leq \theta \leq 2 \pi , \\ y = r \sin \theta , & \end{array} \right. \tag {8} \]

往往能达到简化积分区域或被积函数的目的。此时，变换 \(T\) 的函数行列式为

\[ J (r, \theta) = \left| \begin{array}{c c} \cos \theta & - r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right| = r. \]

容易知道，极坐标变换 T 把 \(r\theta\) 平面上的矩形 \([0,R]\times[0,2\pi]\) 变换成 xy 平面上的圆域 \(D:x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\) . 但此对应不是一对一的.

例如 xy 平面上原点 \(O(0,0)\) 与 \(r\theta\) 平面上直线 r=0 相对应，

x 轴上线段 \(AA'\) 对应于 \(r\theta\) 平面上两条直线段 CD 和 EF (下图).

又当 r=0 时， \(J(r,\theta)=0\) ，因此不满足定理 21.13 的条件。但是仍然有下面的结论。

定理 (21.14)

设 \(f(x,y)\) 满足定理 21.13 的条件，且在极坐标变换 (8) 下， \(xy\) 平面上的有界闭域 \(D\) 与 \(r\theta\) 平面上区域 \(\Delta\) 对应，则成立

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \tag {9} \]

证 若 D 为一圆: \(x^{2} + y^{2} \leq R^{2}\) ，则 \(\Delta = [0, R] \times [0, 2\pi]\) .

设 \(D_{\varepsilon}\) 为圆环 \(\{(x,y)\mid \varepsilon^2\leq x^2 +y^2\leq R^2\}\) 除去中心角为 \(\varepsilon\) 的扇形 \(BB^{\prime}A^{\prime}A\) 后所得的区域 (图 21-26 (a))，则在变换 (8) 下， \(D_{\varepsilon}\) 对应于 \(\Delta_{\varepsilon} = [\varepsilon ,R]\times [0,2\pi -\varepsilon ]\) ，且 \(D_{\varepsilon}\) 与 \(\Delta_{\varepsilon}\) 之间是一一对应的（图 21-26 (b)). 又因在 \(\Delta\) 上 \(J(r,\theta) > 0\) ，于是由定理 21.13，有

\[ \iint_ {D _ {\varepsilon}} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta_ {\varepsilon}} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \tag {10} \]

因 \(f\) 在 \(D\) 上有界，故可设 \(|f(x,y)| \leq M, (x,y) \in D\) . 于是由 \(\lim_{\varepsilon \to 0} \mu(D \backslash D_{\varepsilon}) = 0\) , 可知

\[ \begin{array}{l} \left| \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_ {D _ {\varepsilon}} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \right| \\ \leq \iint_ {D \backslash D _ {\varepsilon}} | f (x, y) | \mathrm{d} x \mathrm{d} y \leq M \cdot \mu \left(D \backslash D _ {\varepsilon}\right)\rightarrow 0 (\varepsilon \rightarrow 0). \\ \end{array} \]

同理又有

\[ \iint_ {\Delta_ {\varepsilon}} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \rightarrow \iint_ {\Delta} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta (\varepsilon \rightarrow 0). \]

所以，对 (10) 式取极限 \((\varepsilon \rightarrow 0)\) , 即得 (9) 式:

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \]

若 D 是一般的有界闭域，则取足够大的 R > 0, 使

\[ D \subset D _ {R} = \left\{(x, y) \mid x ^ {2} + y ^ {2} \leq R ^ {2} \right\}, \]

并且在 \(D_{R}\) 上定义函数

\[ F (x, y) = \left\{ \begin{array}{c l} f (x, y), & (x, y) \in D, \\ 0, & (x, y) \in D _ {R} \backslash D. \end{array} \right. \]

在 \(D_{R}\) 中函数 \(\pmb{F}\) 至多在有限条按段光滑曲线上间断，因此由前述得到

\[ \iint_ {D _ {R}} F (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {\Delta_ {R}} F (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta , \]

其中 \(\Delta_R\) 为 \(r\theta\) 平面上矩形区域 \([0,R]\times [0,2\pi ]\) . 由函数 \(F(x,y)\) 的定义，(9) 式对一般的 \(D\) 也成立.

由定理 21.14 看到，用极坐标变换计算二重积分时，除变量作相应的替换外，还须把 “面积微元” \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 换成 \(r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\)

下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.

1. 常用的是将 \(\Delta\) 分解为 \(r\theta\) 平面中的 \(\theta\) 型区域.

(i) 若原点 \(O \notin D\) ，则 \(\theta\) 型区域必可表示成 (图 21-27)

\[ r _ {1} (\theta) \leq r \leq r _ {2} (\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta , \]

于是有

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {\alpha} ^ {\beta} \mathrm{d} \theta \int_ {r _ {1} (\theta)} ^ {r _ {2} (\theta)} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \tag {11} \]

(ii) 若原点为 \(D\) 的内点 (图 21-28 (a)), \(D\) 的边界的极坐标方程为 \(r = r(\theta)\) , 则 \(\Delta\) 一般可表示成于是有

\[ 0 \leq r \leq r (\theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi . \]

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {r (\theta)} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r \tag {12} \]

(iii) 若原点在 \(D\) 的边界上 (图 21-28 (b)), \(\Delta\) 则为：于是有

\[ 0 \leq r \leq r (\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta , \]

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {\alpha} ^ {\beta} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {r (\theta)} f (r \cos \theta , r \sin \theta) r \mathrm{d} r. \tag {13} \]

1. 也可将 \(\Delta\) 分解为 \(r\theta\) 平面中的 r 型区域 (图 21-29).

(1) 令

\[ \begin{array}{l} r _ {1} = \min \{r \mid (r \cos \theta , r \sin \theta) \in D \}, \\ r _ {2} = \max \{r \mid (r \cos \theta , \sin \theta) \in D \}. \\ \end{array} \]

(2) \(\forall r \in [r_1, r_2]\) , 作半径为 \(r\) 的圆穿过 \(D\) , 按逆时针方向首先由边界曲线 \(\theta = \theta_1(r)\) 穿入，而后由边界曲线 \(\theta = \theta_2(r)\) 穿出。则有

\[ \iint_ {D} f (x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {r _ {1}} ^ {r _ {2}} r \mathrm{d} r \int_ {\theta_ {1} (r)} ^ {\theta_ {2} (r)} f (r \cos \theta , r \sin \theta) \mathrm{d} \theta . \]

例 (4)

对积分 \(\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{~d}y\) 作极坐标变换，并表示为不同次序的累次积分，其中 (见下图)

\[ D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq x + y \leq 1 \}. \]

解 经过极坐标变换后，D 可分解为二个 \(\theta\) 型区域:

\[ \begin{array}{l} G _ {1} = \left\{(r, \theta) \mid - \frac {\pi}{4} \leq \theta \leq 0, 0 \leq r \leq \sec \theta \right\}, \\ G _ {2} = \left\{(r, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq \frac {\pi}{2}, 0 \leq r \leq \frac {1}{\sin \theta + \cos \theta} \right\}. \\ \end{array} \]

例 (5)

计算

\[ I = \iint_ {D} \frac {\mathrm{d} \sigma}{\sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}}}, \]

其中 D 为圆域: \(x^{2} + y^{2} \leq 1\) .

解 由于原点为 D 的内点，故由 (12) 式，有

\[ \begin{array}{l} \iint_ {D} \frac {\mathrm{d} \sigma}{\sqrt {1 - x ^ {2} - y ^ {2}}} = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {1} \frac {r}{\sqrt {1 - r ^ {2}}} \mathrm{d} r \\ = \int_ {0} ^ {2 \pi} \left[ - \sqrt {1 - r ^ {2}} \right] _ {0} ^ {1} d \theta \\ = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta = 2 \pi . \\ \end{array} \]

例 (6)

求球体 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}\) 被圆柱面 \(x^{2}+y^{2}=Rx\) 所割下部分的体积 (称为维维安尼 (Viviani) 体).

解 由所求立体的对称性 (图 21-31)，只要求出在第一卦限内的部分体积，再乘以 4，即得所求立体的体积。在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体，其底为 \(xy\) 平面内由 \(y \geq 0\) 和 \(x^{2} + y^{2} \leq Rx\) 所确定的区域 \(D\) (图 21-32).

而曲顶的方程为

\[ z = \sqrt {R ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}. \]

所以

\[ V = 4 \iint_ {D} \sqrt {R ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}} \mathrm{d} \sigma , \]

其中 \(D = \{(x,y) \mid y \geq 0, x^2 + y^2 \leq Rx\}\) . 用极坐标变换后，由 (13) 式便可求得

\[ V = 4 \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R \cos \theta} \sqrt {R ^ {2} - r ^ {2}} r \mathrm{d} r = \frac {4}{3} R ^ {3} \left(\frac {\pi}{2} - \frac {2}{3}\right) \]

例 (7)

计算 \(I = \iint_{D}\mathrm{e}^{-\left(x^{2} + y^{2}\right)}\mathrm{d}\sigma\) ，其中 \(D\) 为： \(x^{2} + y^{2}\leq R^{2}\)

解 利用极坐标变换，由公式 (12), 容易求得

\[ I = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R} r \mathrm{e} ^ {- r ^ {2}} \mathrm{d} r = \pi \left(1 - \mathrm{e} ^ {- R ^ {2}}\right). \]

若不用极坐标变换，而直接在直角坐标系下化为累次积分计算，则会遇到无法算出 \(\int \mathrm{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\) 的难题.

二重积分的广义极坐标变换

当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时，可考虑用如下的广义极坐标变换：

\[ T: \left\{ \begin{array}{l l} x = a r \cos \theta , & 0 \leq r < + \infty , 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\ y = b r \sin \theta , & \end{array} \right. \]

并计算得

\[ J (r, \theta) = \left| \begin{array}{c c} a \cos \theta & - a r \sin \theta \\ b \sin \theta & b r \cos \theta \end{array} \right| = a b r. \]

对广义极坐标变换也有与定理 21.14 相应的定理，这里就不再赘述了.

例

求椭球体 \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\) 的体积.

解 由对称性，椭球体的体积 V 是第一卦限部分体积的 8 倍，而这部分是以 \(z = c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}}\) 为曲顶，

\[ D = \left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac {b}{a} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}, 0 \leq x \leq a \right\} \]

为底的曲顶柱体，所以

\[ V = 8 \iint_ {D} c \sqrt {1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

应用广义极坐标变换，由于 \(z = c\sqrt{1 - r^2}\) , 因此

\[ \begin{array}{l} V = 8 \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {1} c \sqrt {1 - r ^ {2}} a b r \mathrm{d} r \\ = 8 a b c \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {1} r \sqrt {1 - r ^ {2}} \mathrm{d} r \\ = \frac {4 \pi}{3} a b c. \\ \end{array} \]

特别当 a=b=c=R 时，得到球的体积为 \(\frac{4\pi}{3}R^{3}\) .

作业

P. 243

1

2 单

§5 三重积分

三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量.

研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似.

三重积分的定义

与二重积分相类似，通过求一个空间立体 V 的质量 M 就可导出三重积分.

设 V 的密度函数为 \(f(x,y,z)\) ，为了求 V 的质量，把 V 分割成 n 小块： \(V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}\) ，在每一小块 \(V_{i}\) 上任取一点 \((\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i})\) ，则

\[ M = \lim _ {\| T \| \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} f (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \varsigma_ {i}) \Delta V _ {i}, \]

其中 \(\Delta V_{i}\) 为小块 \(V_{i}\) 的体积，\(\|T\| = \max_{1 \leq i \leq n} \{V_{i} \text{ 的直径}\}\) .

设 \(V \subset R^{3}\) 为一可求体积的有界区域， \(f(x,y,z)\) 是定义在 V 上的有界函数。现用若干个光滑曲面所组成的曲面网 T 来分割 V，它把 V 分成 n 个小区域： \(V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}\) ，用 \(\Delta V_{i}\) 记 \(V_{i}(i = 1, 2, \cdots, n)\) 的体积，并记 \(\|T\| = \max_{1 \leq i \leq n} \{V_{i} \text{ 的直径}\}\) 。 \(\forall (\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) \in V_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)\) ，作积分和 \(\sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}) \Delta V_{i}\)

定义 (1 三重积分)

对上述 \(V\) 和 \(f(x,y,z)\) , 若有一确定的实数 \(J\) , 对任给的正数 \(\varepsilon\) , 总存在某正数 \(\delta\) , 使得对于 \(V\) 的任何分割 \(T\) , 只要 \(\| T \| < \delta\) , 属于 \(T\) 的所有积分和都满足

\[ \left| \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}\right) \Delta V _ {i} - J \right| < \varepsilon , \]

则称 \(f(x,y,z)\) 在 V 上可积，并称数 J 为 \(f(x,y,z)\) 在 V 上的三重积分，记作

\[ J = \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} V \text {或} \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z, \]

其中 \(f(x,y,z)\) 称为被积函数， \(x,y,z\) 称为积分变量， \(V\) 称为积分区域。当 \(f(x,y,z) \equiv 1\) 时， \(\iiint \mathrm{d}V\) 在几何上表示 \(V\) 的体积.

三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性质，这里不再一一细述。例如:

化三重积分为累次积分

1. 积分区域为长方体

定理 (21.15)

若函数 \(f(x,y,z)\) 在长方体 \(V = [a,b]\times [c,d]\times [e,h]\) 上的三重积分存在，且对任何 \((x,y)\in\) \([a,b]\times [c,d],\)

\[ g (x, y) = \int_ {e} ^ {h} f (x, y, z) \mathrm{d} z \]

存在，则积分 \(\iint_{D} g(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{~d}y\) 也存在，且

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_ {e} ^ {h} f (x, y, z) \mathrm{d} z. \tag {1} \]

证 用平行于坐标面的平面网 T 作分割，它把 V 分成有限个小长方体

\[ v _ {i j k} = [ x _ {i - 1}, x _ {i} ] \times [ y _ {j - 1}, y _ {j} ] \times [ z _ {k - 1}, z _ {k} ]. \]

设 \(M_{ijk}, m_{ijk}\) 分别为 \(f(x, y, z)\) 在 \(v_{ijk}\) 上的上、下确界. \(\forall (\xi_i, \eta_j) \in [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j]\) , 有

\[ \pmb {m} _ {i j k} \Delta z _ {k} \leq \int_ {z _ {k - 1}} ^ {z _ {k}} f (\xi_ {i}, \eta_ {j}, z) \mathrm{d} z \leq M _ {i j k} \Delta z _ {k}. \]

现按下标 \(k\) 相加，则有

\[ \sum_ {k} \int_ {z _ {k - 1}} ^ {z _ {k}} f (\xi_ {i}, \eta_ {j}, z) \mathrm{d} z = \int_ {e} ^ {h} f (\xi_ {i}, \eta_ {j}, z) \mathrm{d} z = g (\xi_ {i}, \eta_ {j}) \]

及

\[ \sum_ {i, j, k} m _ {i j k} \Delta x _ {i} \Delta y _ {j} \Delta z _ {k} \leq \sum_ {i, j} g (\xi_ {i}, \eta_ {j}) \Delta x _ {i} \Delta y _ {j} \leq \sum_ {i, j, k} M _ {i j k} \Delta x _ {i} \Delta y _ {j} \Delta z _ {k}. \tag {2} \]

上述不等式两边是分割 T 的上和与下和，由于 f 在 V 上可积，当 \(\|T\|\to0\) 时，下和与上和具有相同的极限，所以由 (2) 式得 \(I(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且

\[ \iint_ {D} g (x, y) = \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]

2. 积分区域为 xy 型区域

xy 型区域 V 是指:

\[ V = \left\{(x, y, z) \mid z _ {1} (x, y) \leq z \leq z _ {2} (x, y), (x, y) \in D _ {(x y)} \right\}, \]

其中 \(D_{(xy)}\) 是 \(V\) 在 \(xy\) 平面上的投影，\(z_{i}(x,y), i = 1,2\) 是 \(D_{(xy)}\) 上的连续函数。此时有

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(x y)}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_ {z _ {1} (x, y)} ^ {z _ {2} (x, y)} f (x, y, z) \mathrm{d} z. \tag {3} \]

同样地，当区域 V 为 zx 型区域时，即当 \(V = \left\{(x, y, z) \mid y_{1}(z, x) \leq y \leq y_{2}(z, x), (z, x) \in D_{(zx)}\right\}\) 时

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(z x)}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x \int_ {y _ {1} (x, z)} ^ {y _ {2} (x, z)} f (x, y, z) \mathrm{d} y. \tag {$3^{\prime$}} \]

又当区域 V 为 yz 型区域，即

\[ V = \left\{(x, y, z) \mid x _ {1} (y, z) \leq x \leq x _ {2} (y, z), (y, z) \in D _ {(y z)} \right\} \]

时，

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iint_ {D _ {(y z)}} \mathrm{d} y \mathrm{d} z \int_ {x _ {1} (z, y)} ^ {x _ {2} (z, y)} f (x, y, z) \mathrm{d} x. \tag {$3^{\prime\prime$}} \]

类似地，若 \(V = \{(x,y,z) \mid e \leq z \leq f, (x,y) \in D_{(z)}\}\) ，其中 \([e,f]\) 是 \(V\) 在 \(z\) 轴上的投影， \(\forall z \in [e,f], D_{(z)}\) 是过点 \((0,0,z)\) 作垂直于 \(z\) 轴的平面在 \(V\) 上的截面。此时

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {e} ^ {f} \mathrm{d} z \iint_ {D _ {(z)}} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y. \tag {4} \]

同样有

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \iint_ {D _ {(x)}} f (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z, \tag {$4^{\prime$}} \]

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {c} ^ {d} \mathrm{d} y \iint_ {D _ {(y)}} f (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x. \tag {4"} \]

注 俗称公式 (3), (3)', (3)” 为 “先一后二” 法，

(4), (4)' (4)" 为 “先二后一” 法

使用时应根据实际情形来择累次的合适顺序.

例 (1)

计算 \(\iiint_{V} \frac{\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z}{x^2 + y^2}\) , 其中 \(V\) 为由平面 \(x = 1, x = 2, z = 0\) 及 \(y = x, z = y\) 所围的区域.

解 如图 21-33 所示，V 在 xy 平面上的投影区域为

\[ D _ {(x y)} = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 1 \leq x \leq 2 \}, \]

它是 x 型区域；这里 \(z_{1}(x,y)=0, z_{2}(x,y)=y\) . 所以由公式 (3),

\[ \begin{array}{l} \iiint_ {V} \frac {\mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z}{x ^ {2} + y ^ {2}} = \iint_ {D _ {(x y)}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_ {0} ^ {y} \frac {\mathrm{d} z}{x ^ {2} + y ^ {2}} \\ = \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {x} \frac {1}{x ^ {2} + y ^ {2}} \mathrm{d} y \int_ {0} ^ {y} \mathrm{d} z = \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {x} \frac {y \mathrm{d} y}{x ^ {2} + y ^ {2}} \\ = \left. \frac {1}{2} \int_ {1} ^ {2} \ln \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) \right| _ {y = 0} ^ {y = x} \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \ln 2 \int_ {1} ^ {2} \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \ln 2. \\ \end{array} \]

例 (2)

求 \(I = \iiint_{V}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} +\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\) 其中 \(V\) 是椭球体：

\[ \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} + \frac {z ^ {2}}{c ^ {2}} \leq 1 \]

解 \(I = \iiint_{V} \frac{x^{2}}{a^{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + \iiint_{V} \frac{y^{2}}{b^{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + \iiint_{V} \frac{z^{2}}{c^{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z.\) 其中 \(\iiint_{V} \frac{x^{2}}{a^{2}} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \int_{-a}^{a} \frac{x^{2}}{a^{2}} \, \mathrm{d}x \, \iint_{D_{(x)}} \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z,\) 这里 \(D_{(x)}\) 表示椭圆截面 (垂直于 \(x\) 轴):

\[ \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} + \frac {z ^ {2}}{c ^ {2}} \leq 1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} \text {或} \frac {y ^ {2}}{b ^ {2} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}\right)} + \frac {z ^ {2}}{c ^ {2} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}\right)} \leq 1. \]

由于 \(D_{(x)}\) 的面积等于

\[ \pi \left(b \sqrt {1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}}\right) \left(c \sqrt {1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}}\right) = \frac {\pi b c}{a ^ {2}} \left(a ^ {2} - x ^ {2}\right), \]

因此 \(\iiint_{V}\frac{x^{2}}{a^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\frac{\pi bc}{a^{4}}\int_{-a}^{a}x^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{4}{15}\pi abc.\) 同理

\[ \iiint_ {V} \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \frac {4}{1 5} \pi a b c, \]

\[ \iiint_ {V} \frac {z ^ {2}}{c ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \frac {4}{1 5} \pi a b c. \]

所以求得 \(I = 3 \times \frac{4}{15} \pi abc = \frac{4}{5} \pi abc.\)

类似分析可得下面定理.

定理 (21.16)

若函数 \(f(x,y,z)\) 在长方体 \(V=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]\) 上的三重积分存在，且对任何 \(x\in[a,b]\) , 二重积分

\[ I (x) = \iint_ {D} f (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]

存在，其中 \(D = [c, d] \times [e, f]\) , 则积分也存在，且

\[ \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \iint_ {D} f (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \iint_ {D} f (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]

三重积分换元法

与二重积分一样，某些类型的三重积分经过适当的变量变换后能简化计算.

设变换 \(T: x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)\) ，把 \(uvw\) 空间中的区域 \(V'\) 一对一地映成 \(xyz\) 空间中的区域 \(V\) ，并设函数 \(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)\) 及它们的一阶偏导数在 \(V'\) 内连续，且函数行列式

\[ J (u, v, w) = \left| \begin{array}{c c c} \frac {\partial x}{\partial u} & \frac {\partial x}{\partial v} & \frac {\partial x}{\partial w} \\ \frac {\partial y}{\partial u} & \frac {\partial y}{\partial v} & \frac {\partial y}{\partial w} \\ \frac {\partial z}{\partial u} & \frac {\partial z}{\partial v} & \frac {\partial z}{\partial w} \end{array} \right| \neq 0, \quad (u, v, w) \in V ^ {\prime} \]

于是与二重积分换元法一样，当 \(f(x,y,z)\) 在 V 上可积时，可以证明如下三重积分换元公式:

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iiint_ {V} f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) | J (u, v, w) | \mathrm{d} u \mathrm{d} v \mathrm{d} w. \tag {5} \]

常用的换元公式:

1. 柱面坐标变换

\[ \boldsymbol {T}: \left\{ \begin{array}{c c} x = r \cos \theta , & 0 \leq r < + \infty \\ y = r \sin \theta , & 0 \leq \theta \leq 2 \pi , \\ z = z, & - \infty < z < + \infty . \end{array} \right. \]

由于变换 T 的函数行列式

\[ J (r, \theta , z) = \left| \begin{array}{c c c} \cos \theta & - r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = r, \]

所以

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iiint_ {V ^ {\prime}} f (r \cos \theta , r \sin \theta , z) r \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z, \tag {6} \]

这里 \(V'\) 为 V 在柱面坐标变换下的原象．与极坐标变换一样，柱面坐标变换并非是一对一的，并且当 r = 0 时， \(J(u, v, w) = 0\) ，但我们仍可证明 (6) 式成立.

在柱面坐标系中，用 \(r =\) 常数， \(\theta =\) 常数， \(z =\) 常数的平面分割 \(V^{\prime}\) 时，变换后在 \(xyz\) 坐标系中， \(r =\) 常数是以 \(z\) 轴为中心轴的圆柱面， \(\theta =\) 常数是过 \(z\) 轴的半平面， \(z =\) 常数是垂直于 \(z\) 轴的平面（图 21-34).

用柱面坐标计算三重积分，通常是找出 V 在 xy 平面上的投影区域 D,

即当

\[ V = \{(x, y, z) \mid z _ {1} (x, y) \leq z \leq z _ {2} (x, y), (x, y) \in D \} \text {时}, \]

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) = \iint_ {D} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \int_ {z _ {1} (x, y)} ^ {z _ {2} (x, y)} f (x, y, z) \mathrm{d} z, \]

其中二重积分部分应用极坐标变换计算.

例 (3)

计算 \(\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,\) 其中 V 如图 21-35 所示，是由曲面 \(2(x^{2}+y^{2})=z\) 与 z=4 所围的区域.

解 V 在 xy 平面上的投影区域 D 为 \(x^{2} + y^{2} \leq 2\) ，按柱坐标变换，区域 \(V'\) 可表为

\[ V ^ {\prime} = \left\{(r, \theta , z) \mid 2 r ^ {2} \leq z \leq 4, 0 \leq r \leq \sqrt {2}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi \right\}. \]

所以由公式 (6),

\[ \iiint_ {V} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \]

\[ = \iiint_ {V ^ {\prime}} r ^ {3} \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z \]

\[ = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\sqrt {2}} \mathrm{d} r \int_ {2 r ^ {2}} ^ {4} r ^ {3} \mathrm{d} z \]

\[ = \frac {8 \pi}{3}. \]

2. 球面坐标变换

\[ T: \left\{ \begin{array}{c l} x = r \sin \varphi \cos \theta , & 0 \leq r < + \infty \\ y = r \sin \varphi \sin \theta , & 0 \leq \varphi < \pi \\ z = r \cos \varphi , & 0 \leq \theta \leq 2 \pi \end{array} \right. \]

如图 21-36, 由于

\[ J (r, \varphi , \theta) = \left| \begin{array}{c c c} \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \cos \theta & - r \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & - r \sin \varphi & 0 \end{array} \right| = r ^ {2} \sin \varphi \]

当 \(\varphi\) 在 \([0, \pi]\) 上取值时， \(\sin \varphi \geq 0\) ，所以在球坐标变换下，按公式 (5)，三重积分的球坐标变换公式为

\[ \begin{array}{l} \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \\ = \iiint_ {V ^ {\prime}} f (r \sin \varphi \cos \theta , r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi) r ^ {2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta , \tag {7} \\ \end{array} \]

这里的 \(V'\) 为 \(\pmb{V}\) 在球坐标变换下的原象。类似地，球坐标变换并不是一对一的，并且当 \(\pmb{r} = \mathbf{0}\) ，或 \(\varphi = 0, \pi\) 时， \(J(r, \varphi, \theta) = 0\) 。但仍然可以证明 (6) 式成立。

在球坐标系中，用 \(r =\) 常数， \(\theta =\) 常数， \(\varphi =\) 常数的平面网分割 \(V^{\prime}\) 时，变换后在 \(xyz\) 直角坐标系中 \(r =\) 常数是以原点为心的球面， \(\varphi =\) 常数是以原点为顶点， \(z\) 轴为中心轴的圆锥面， \(\theta =\) 常数是过 \(z\) 轴的半平面.

在球坐标系下，当区域 \(V'\) 为集合

\[ V ^ {\prime} = \{(r, \varphi , \theta) \mid r _ {1} (\varphi , \theta) \leq r \leq r _ {2} (\varphi , \theta), \]

\[ \varphi_ {1} (\theta) \leq \varphi \leq \varphi_ {2} (\theta), \theta_ {1} \leq \theta \leq \theta_ {2} \} \]

时，(7) 式可化为累次积分

\[ \iiint_ {V} f (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \int_ {\theta_ {1}} ^ {\theta_ {2}} \mathrm{d} \theta \int_ {\varphi_ {1} (\theta)} ^ {\varphi_ {2} (\theta)} \mathrm{d} \varphi \int_ {r _ {1} (\varphi , \theta)} ^ {r _ {2} (\varphi , \theta)} f (r \sin \varphi \cos \theta \]

\[ r \sin \varphi \sin \theta , r \cos \varphi) r ^ {2} \sin \varphi \mathrm{d} r \tag {8} \]

例 (4)

求由圆锥体 \(z \geq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cot \beta\) 和球体

\[ x ^ {2} + y ^ {2} + (z - a) ^ {2} \leq a ^ {2} \]

所确定的立体体积 (图 21-37), 其中

\[ \beta \in \left(0, {\frac {\pi}{2}}\right) \text { 和 } a (> 0) \text { 为常数 }. \]

解 在球坐标变换下，球面方程 \(x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}\) 可表示成 \(r = 2a\cos \varphi\) , 锥面方程 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\cot \beta\) 可表示成 \(\varphi = \beta\) . 因此

\[ V ^ {\prime} = \{(r, \varphi , \theta) \mid 0 \leq r \leq 2 a \cos \varphi , 0 \leq \varphi \leq \beta , 0 \leq \theta \leq 2 \pi \}. \]

由公式 (8) 求得 \(V\) 的体积为

\[ \begin{array}{l} \iiint_ {V} \mathrm{d} V = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\beta} \mathrm{d} \varphi \int_ {0} ^ {2 a \cos \varphi} r ^ {2} \sin \varphi \mathrm{d} r \\ = \frac {4}{3} \pi a ^ {3} \left(1 - \cos^ {4} \beta\right). \\ \end{array} \]

除上面介绍的两种变换外，下面再举一个例子，进一步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择其他不同的变换.

例 (5)

求 \(I = \iiint_{V} z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z,\) 其中 \(V\) 为由 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\) 与 \(z \geq 0\) 所确定的区域.

解 作广义球坐标变换 \(T: \left\{ \begin{array}{l} x = ar\sin \varphi \cos \theta \\ y = br\sin \varphi \sin \theta \\ z = cr\cos \varphi \end{array} \right.\)

于是 \(J = abcr^2\sin \varphi\) 。在上述坐标变换下， \(V\) 的原象为

\[ V ^ {\prime} = \left\{(r, \varphi , \theta) \mid 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \varphi \leq \frac {\pi}{2}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi \right\}. \]

由公式 (8), 有

\[ \begin{array}{l} \iiint_ {V} z \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \iiint_ {V ^ {\prime}} a b c ^ {2} r ^ {3} \sin \varphi \cos \varphi \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta \\ = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \mathrm{d} \varphi \int_ {0} ^ {1} a b c ^ {2} r ^ {3} \sin \varphi \cos \varphi \mathrm{d} r \\ = \frac {\pi a b c ^ {2}}{2} \int_ {0} ^ {\frac {\pi}{2}} \sin \varphi \cos \varphi \mathrm{d} \varphi = \frac {\pi a b c ^ {2}}{4}. \\ \end{array} \]

作业

P. 252

1. 单

2

3

§6 重积分的应用

应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.

曲面的面积

设 D 为可求面积的平面有界区域，\(f(x,y)\) 在 D 上具有连续的一阶偏导数，现讨论

\[ z = f (x, y), (x, y) \in D \]

所表示的曲面 S 的面积.

\[ \Delta S = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta S _ {i} \approx \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta A _ {i} \]

这里 \(\Delta S, \Delta S_{i}, \Delta A_{i}\) 分别表示 \(S, S_{i}, A_{i}\) 的面积.

(3) 当 \(\|T\|\to0\) 时，定义和式 \(\sum_{i=1}^{n}\Delta A_{i}\) 的极限 (若存在) 作为 S 的面积.

现在按照上述曲面面积的概念，建立曲面面积的计算公式.

1）计算 \(A_{i}\) 的面积.

由于切平面 \(\pi_{i}\) 的法向量就是曲面 \(S\) 在点 \(M_{i}(\xi_{i},\eta_{i},\varsigma_{i})\) 处的法向量 \(\pmb{n}\) , 记它与 \(z\) 轴的夹角为 \(\gamma_{i}\) , 则

\[ | \cos (\pmb {n}, \pmb {z}) | = | \cos \gamma_ {i} | = \frac {1}{\sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i}) + f _ {y} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i})}}. \]

因为 \(A_{i}\) 在 \(xy\) 平面上的投影为 \(\sigma_{i}\) ，所以

\[ \Delta A _ {i} = \frac {\Delta \sigma_ {i}}{\cos \gamma_ {i}} = \sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i}) + f _ {y} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i})} \Delta \sigma_ {i}. \]

2）和

\[ \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta A _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i}) + f _ {y} ^ {2} (\xi_ {i} , \eta_ {i})} \Delta \sigma_ {i} \]

是连续函数 \(\sqrt{1 + f_x^2(x,y) + f_y^2(x,y)}\) 在有界闭域 \(D\) 上的积分和，于是当 \(\| T\| \to 0\) 时，上式左边趋于 \(\Delta S\) ; 而右边趋于 \(\iint_{D} \sqrt{1 + f_x^2(x,y) + f_y^2(x,y)} \mathrm{d}x \mathrm{~d}y\) . 这就得到曲面 \(S\) 的面积:

\[ \Delta S = \iint_ {D} \sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} (x , y) + f _ {y} ^ {2} (x , y)} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]

(1)

或另一形式:

\[ \Delta S = \iint_ {D} \frac {1}{| \cos (n , z) |} d x d y \tag {2} \]

例 (1)

求圆锥 \(z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) 在圆柱体 \(x^{2} + y^{2} \leq x\) 内那一部分的面积.

解 据曲面面积公式，

\[ \Delta S = \iint_ {D} \sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} d x d y \]

其中 \(D\) 是 \(x^{2} + y^{2}\leq x\) ，即 \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 +y^2\leq \frac{1}{4}\) ，曲面方程是 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) 故 \(z_{x} =\) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}},\)

\[ \sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} = \sqrt {2}, \quad \Delta S = \iint_ {D} \sqrt {2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \sqrt {2} \Delta D = \frac {\sqrt {2}}{4} \pi . \]

参数曲面的面积公式

若空间曲面 S 由参数方程

\[ x = x (u, v), \quad y = y (u, v), \quad z = z (u, v), \quad (u, v) \in D \tag {3} \]

表示，其中 \(x(u,v)\) , \(y(u,v)\) , \(z(u,v)\) 在 D 上具有连续的一阶偏导数，且

\[ \left(\frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2} + \left(\frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2} + \left(\frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2} \neq 0, \]

则曲面 \(S\) 在点 \((x, y, z)\) 的法线方向为

\[ \vec {n} = \left(\frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)}, \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)}\right). \]

记

\[ \begin{array}{l} W (u, v) = \sqrt {\left(\frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2} + \left(\frac {\partial (z , x)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2} + \left(\frac {\partial (y , z)}{\partial (u , v)}\right) ^ {2}} \\ = \sqrt {(x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2}) (x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2}) - (x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v}) ^ {2}} \\ \end{array} \]

\(\vec{n}\) 与 z 轴夹角的余弦则为

\[ \begin{array}{l} \cos (\vec {n}, z) = \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \cdot (W (u, v)) ^ {- 1} \\ = \frac {\partial (x , y)}{\partial (u , v)} \cdot \frac {1}{\sqrt {E G - F ^ {2}}}, \tag {4} \\ \end{array} \]

其中

\[ \begin{array}{l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2}, \quad F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v}, \\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2}. \\ \end{array} \]

当 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\neq0\) 时，对公式 (2) 作变换：则有

\[ x = x (u, v), y = y (u, v), \]

\[ \begin{array}{l} \Delta S = \iint_ {D} \frac {1}{| \cos (\boldsymbol {n} , \boldsymbol {z}) |} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = \iint_ {D ^ {\prime}} \frac {1}{| \cos (\boldsymbol {n} , \boldsymbol {z}) |} \cdot \left| \frac {\partial (x , y)}{\partial (x , y)} \right| d u d v. \\ \end{array} \]

由 (4), 便得参数曲面 (3) 的面积公式:

\[ \Delta S = \iint_ {D ^ {\prime}} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v \tag {5} \]

例 \(^{*2}\)

求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 (图 21-39 中阴影部分).

解 设球面的参数方程为:

\[ x = R \cos \varphi \cos \theta , \]

\[ y = R \cos \varphi \sin \theta , \]

\[ z = R \sin \varphi , \]

其中 \(R\) 是球面半径。这里是求当 \(\theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2}, \varphi_{1} \leq \varphi \leq \varphi_{2}\) 时球面上的面积。由于

\[ E = x _ {\varphi} ^ {2} + y _ {\varphi} ^ {2} + z _ {\varphi} ^ {2} = R ^ {2}, \quad F = 0, G = R ^ {2} \cos^ {2} \varphi \]

所以

\[ \sqrt {E G - F ^ {2}} = R ^ {2} \cos \varphi . \]

由公式（5）即得所求曲面的面积：

\[ \begin{array}{l} \Delta S = \int_ {\theta_ {1}} ^ {\theta_ {2}} \mathrm{d} \theta \int_ {\varphi_ {1}} ^ {\varphi_ {2}} R ^ {2} \cos \varphi \mathrm{d} \varphi \\ = \boldsymbol {R} ^ {2} \left(\theta_ {2} - \theta_ {1}\right) (\sin \varphi_ {2} - \sin \varphi_ {1}). \\ \end{array} \]

例 \((3^{*})\)

设平面光滑曲线的方程为

\[ y = f (x), x \in [ a, b ] \quad (f (x) \geq 0). \]

求证此曲线绕 \(x\) 轴旋转一周得到的旋转面的面积为

\[ S = 2 \pi \int_ {a} ^ {b} f (x) \sqrt {1 + f ^ {\prime 2} (x)} \mathrm{d} x. \]

证 由于上半旋转面的方程为 \(z = \sqrt{f^2(x) - y^2}\) , 因此

\[ z _ {x} = \frac {f (x) f ^ {\prime} (x)}{\sqrt {f ^ {2} (x) - y ^ {2}}}, z _ {y} = \frac {- y ^ {2}}{\sqrt {f ^ {2} (x) - y ^ {2}}} \]

\[ \sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} = \sqrt {\frac {f ^ {2} (x) + f ^ {2} (x) f ^ {\prime 2} (x)}{f ^ {2} (x) - y ^ {2}}}. \]

不妨设 \(f(x) > 0, x \in [a, b]\) ，则

\[ \Delta S = 2 \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {- f (x)} ^ {f (x)} \sqrt {\frac {f ^ {2} (x) + f ^ {2} (x) f ^ {\prime 2} (x)}{f ^ {2} (x) - y ^ {2}}} \mathrm{d} y \]

\[ = 4 \int_ {a} ^ {b} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {f (x)} f (x) \sqrt {\frac {1 + f ^ {\prime 2} (x)}{1 - \frac {y ^ {2}}{f ^ {2} (x)}} \mathrm{d} \left(\frac {y}{f (x)}\right)} \]

\[ = 4 \int_ {a} ^ {b} f (x) \sqrt {1 + f ^ {\prime 2} (x)} \mathrm{d} x \int_ {0} ^ {1} \frac {1}{\sqrt {1 - t ^ {2}}} \mathrm{d} t \]

\[ = 2 \pi \int_ {a} ^ {b} f (x) \sqrt {1 + f ^ {\prime 2} (x)} \mathrm{d} x. \]

重心

设密度函数为 \(\rho(x, y, z)\) 的空间物体 \(V, \rho(x, y, z)\) 在 \(V\) 上连续。为求得 \(V\) 的重心坐标，先对 \(V\) 作分割 \(T\) ，在属于 \(T\) 的每一小块 \(V_i\) 上任取一点 \((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\) ，于是小块 \(V_i\) 的质量可用 \(\rho(\xi_i, \eta_i, \varsigma_i) \Delta V_i\) 近似代替

若把每一块看作质量集中在 \((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\) 的质点时，整个物体就可用这 \(n\) 个质点的质点系来近似代替。由于质点系的重心坐标公式为

\[ \overline {{x _ {n}}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \xi_ {i} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}} \]

\[ \overline {{y _ {n}}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \eta_ {i} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}} \]

\[ \overline {{z _ {n}}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \zeta_ {i} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} \rho (\xi_ {i} , \eta_ {i} , \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}} \]

当 \(\|T\|\to0\) 时，自然地可把它们的极限定义作为 V 的重心坐标:

\[ \begin{array}{l} \bar {x} = \frac {\iiint_ {V} x \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}{\iiint_ {V} \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}, \\ \bar {y} = \frac {\iiint_ {V} y \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}{\iiint_ {V} \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}, \\ \bar {z} = \frac {\iiint_ {V} z \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}{\iiint_ {V} \rho (x , y , z) \mathrm{d} V}. \\ \end{array} \]

当物体 V 的密度均匀分布时，即 \(\rho\) 为常数时，则有

\[ \bar {x} = \frac {1}{\Delta V} \iiint_ {V} x \mathrm{d} V, \bar {y} = \frac {1}{\Delta V} \iiint_ {V} y \mathrm{d} V, \bar {z} = \frac {1}{\Delta V} \iiint_ {V} z \mathrm{d} V. \]

同样可以得到，密度函数为 \(\rho(x,y)\) 的平面薄板 D 的重心坐标:

\[ \bar {x} = \frac {\iint_ {D} x \rho (x , y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_ {D} \rho (x , y) \mathrm{d} \sigma}, \bar {y} = \frac {\iint_ {D} y \rho (x , y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_ {D} \rho (x , y) \mathrm{d} \sigma}. \]

当 \(\rho\) 为常数时，则有

\[ \bar {x} = \frac {1}{\Delta D} \iint_ {D} x \mathrm{d} \sigma , \quad \bar {y} = \frac {1}{\Delta D} \iint_ {D} y \mathrm{d} \sigma \]

例 (4)

求密度均匀的上半椭球体的重心.

解 设椭球体由 \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1, z \geq 0\) 表示。借助对称性知道 \(\bar{x} = 0, \bar{y} = 0\) . 又由 \(\rho\) 为常数，所以

\[ \bar {z} = \frac {\iiint_ {V} z \mathrm{d} V}{\iiint_ {V} \mathrm{d} V} = \frac {\iiint_ {V} z \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z}{\frac {2}{3} \pi a b c}. \]

由 §5 例 5 已知 \(\iiint_{V} z dxdy dz = \frac{\pi}{4} abc^{2}\) , 即求得上半椭球体的重心坐标为 \(\left(0, 0, \frac{3c}{8}\right)\) .

转动惯量

质点 A 对于轴 l 的转动惯量为 \(J = mr^{2}\) ，其中 m 是 A 的质量，r 是 A 与 l 的距离.

现在讨论空间物体 V 的转动惯量问题，我们仍然采用前面的办法，把 V 看作由 n 个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得 V 的转动惯量。设 \(\rho(x,y,z)\) 为 V 的密度函数，它在 V 上连续。照例对 V 作分割 T, 在属于 T 的每一小块 \(V_{i}\) 上任取一点 \((\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\) , 以 \(\rho(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta V_{i}\) 近似替代 \(V_{i}\) 的质量。当以质点系 \(\{(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i}), i=1,2,\cdots,n\}\) 近似替代 V 时，

质点系对于 x 轴的转动惯量是

\[ J _ {x, n} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\eta_ {i} ^ {2} + \zeta_ {i} ^ {2}\right) \rho (\xi_ {i}, \eta_ {i}, \zeta_ {i}) \Delta V _ {i}. \]

令 \(\|T\|\to0\) ，上述和式的极限就是 V 对于 x 轴的转动惯量：

\[ J _ {x} = \iiint_ {V} \left(y ^ {2} + z ^ {2}\right) \rho (x, y, z) \mathrm{d} V. \]

类似可得 V 对于 y 轴与 z 轴的转动惯量分别为

\[ J _ {y} = \iiint_ {V} \left(z ^ {2} + x ^ {2}\right) \rho (x, y, z) \mathrm{d} V, \]

\[ J _ {z} = \iiint_ {V} \left(x ^ {2} + y ^ {2}\right) \rho (x, y, z) \mathrm{d} V. \]

同理，物体 V 对于坐标平面的转动惯量分别为

\[ J _ {x y} = \iiint_ {V} z ^ {2} \rho (x, y, z) \mathrm{d} V, J _ {y z} = \iiint_ {V} x ^ {2} \rho (x, y, z) \mathrm{d} V, \]

\[ J _ {z x} = \iiint_ {V} y ^ {2} \rho (x, y, z) \mathrm{d} V. \]

同样地，平面薄板 D 对于坐标轴的转动惯量为

\[ J _ {x} = \iiint_ {D} y ^ {2} \rho (x, y) \mathrm{d} \sigma , \quad J _ {y} = \iiint_ {D} x ^ {2} \rho (x, y) \mathrm{d} \sigma ; \]

平面薄板 D 对于轴 l 的转动惯量为

\[ J _ {l} = \iint_ {D} r ^ {2} (x, y) \rho (x, y) \mathrm{d} \sigma , \]

其中 \(r(x,y)\) 为 D 中点 \((x,y)\) 到 l 的距离.

解 设圆环 D 为

\[ R _ {1} ^ {2} \leq x ^ {2} + y ^ {2} \leq R _ {2} ^ {2}, \]

密度为 \(\rho,\) 则 D 中任一点 \((x,y)\) 与 z 轴的距离平方为 \(x^{2}+y^{2}\) . 于是转动惯量为

\[ \begin{array}{l} J = \iint_ {D} \rho \cdot (x ^ {2} + y ^ {2}) \mathrm{d} \sigma = \rho \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {R _ {1}} ^ {R _ {2}} r ^ {3} \mathrm{d} r \\ = \frac {\pi \rho}{2} \left(R _ {2} ^ {4} - R _ {1} ^ {4}\right) = \frac {m}{2} \left(R _ {2} ^ {2} + R _ {1} ^ {2}\right), \\ \end{array} \]

其中 \(m = \rho \left( \pi R_{2}^{2} - \pi R_{1}^{2} \right)\) 为圆环的质量.

解 设圆盘 \(D\) 为 \(x^{2} + y^{2}\leq R^{2}\) ，密度为 \(\rho\) ，求对于 \(y\) 轴的转动惯量。由于 \(D\) 内任一点 \((x,y)\) 与 \(y\) 轴的距离为 \(|x|\) ，故

\[ \begin{array}{l} J = \iint_ {D} \rho x ^ {2} \mathrm{d} \sigma = \rho \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R} (r \cos \theta) ^ {2} \cdot r \mathrm{d} r \\ = \rho \int_ {0} ^ {2 \pi} \cos^ {2} \theta \mathrm{d} \theta \cdot \int_ {0} ^ {R} r ^ {3} \mathrm{d} r \cdot r \mathrm{d} r = \frac {\rho \pi R ^ {4}}{4} = \frac {1}{4} m R ^ {2}, \\ \end{array} \]

其中 m 为圆盘的质量.

例 (7)

设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量

解 设球体由不等式 \(x^{2} + y^{2} + z^{2}\leq R^{2}\) 表示；密度函数为 \(k\sqrt{x^2 + y^2 + z^2},k\) 为比例常数；取切平面方程为 \(\pmb {x} = \pmb{R}\) . 则球体对于此平面的转动惯量为

\[ \begin{array}{l} J = k \iiint_ {V} \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}} (R - x) ^ {2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \\ = k \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\pi} \mathrm{d} \varphi \int_ {0} ^ {R} (R - r \sin \varphi \cos \theta) ^ {2} r ^ {3} \sin \varphi \mathrm{d} r \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} = k R ^ {2} \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R} r ^ {3} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \\ - 2 k R \int_ {0} ^ {2 \pi} \cos \theta \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R} r ^ {4} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {\pi} \sin^ {2} \varphi \mathrm{d} \varphi \\ + k \int_ {0} ^ {2 \pi} \cos^ {2} \theta \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {R} r ^ {5} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {\pi} \sin^ {3} \varphi \mathrm{d} \varphi , \\ \end{array} \]

经详细计算，可得

\[ J = \frac {1 1}{9} k \pi R ^ {6} \]

引力

求密度为 \(\rho(x, y, z)\) 的立体 \(V\) 对立体外单位质点 \(A\) 的引力。设 \(A\) 的坐标为 \((\xi, \eta, \zeta), V\) 中点的坐标用 \((x, y, z)\) 表示，现用微元法来求 \(V\) 对 \(A\) 的引力. \(V\) 中质量微元对 \(A\) 的引力在坐标轴上的投影为

\[ \mathrm{d} F _ {x} = k \cdot \frac {x - \xi}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, \quad \mathrm{d} F _ {y} = k \cdot \frac {y - \eta}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, \]

\[ \mathrm{d} F _ {z} = k \cdot \frac {z - \zeta}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, \]

其中 k 为引力系数，A 到 dV 的距离为

\[ r = \sqrt {(x - \xi) ^ {2} + (y - \eta) ^ {2} + (z - \varsigma) ^ {2}}. \]

于是，力 F 在三个坐标轴上的投影分别为

\[ \begin{array}{l} F _ {x} = k \iiint_ {V} \frac {x - \xi}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, F _ {y} = k \iiint_ {V} \frac {y - \eta}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, \\ F _ {z} = k \iiint_ {V} \frac {z - \varsigma}{r ^ {3}} \rho \mathrm{d} V, \\ \end{array} \]

所以

\[ \mathbf {F} = \mathbf {F} _ {x} \mathbf {i} + \mathbf {F} _ {y} \mathbf {j} + \mathbf {F} _ {z} \mathbf {k} \]

例 (8)

设球体 V 具有均匀的密度 \(\rho\) ，试求 V 对球外一点 A 的引力（引力系数为 k）.

解 设球体为 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}\) ，球外一点 A 的坐标为 \((0,0,a)(R<a)\) 。显然有 \(F_{x}=F_{y}=0\) ，现在计算 \(F_{z}\) 。由上述公式，

\[ \begin{array}{l} F _ {z} = k \iiint_ {V} \frac {(z - a)}{\left[ x ^ {2} + y ^ {2} + (z - a) ^ {2} \right] ^ {3 / 2}} \rho \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \\ = k \rho \int_ {- R} ^ {R} (z - a) \mathrm{d} z \iint_ {D} \frac {\mathrm{d} x \mathrm{d} y}{\left[ x ^ {2} + y ^ {2} + (z - a) ^ {2} \right] ^ {3 / 2}} \\ \end{array} \]

其中 \(D=\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}-z^{2}\right\}\) .

现用柱面坐标变换来计算：

\[ \pmb {F} _ {z} = \pmb {k} \rho \int_ {- R} ^ {R} (z - a) \mathrm{d} z \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\sqrt {R ^ {2} - z ^ {2}}} \frac {r}{[ r ^ {2} + (z - a) ^ {2} ] ^ {3 / 2}} \mathrm{d} r \]

\[ = 2 \pi k \rho \int_ {- R} ^ {R} \left(- 1 - \frac {z - a}{\sqrt {R ^ {2} - 2 a z + a ^ {2}}}\right) \mathrm{d} z \]

\[ = - \frac {4}{3 a ^ {2}} \pi R ^ {3} \rho k. \]